s主应力法剖析
• 金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形 工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中， 工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变 形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重 要参数。
• 求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解 平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。
或者 13 s 2K
对于刚塑性材料还需满足 体积不变条件
xyz 0
分析对象
方程个数 未知数个数 问题属性
一 般 空 间 微分方程，3个
问题
塑性条件，1个
6
静不定
轴 对 称 问 微分方程，2个
题
塑性条件，1个
4
平面问题
微分方程，2个 塑性条件，1个
3
静不定 静定
联立方程
本构方程，6个 几何方程，6个
h1 b e h
h0
1hdh
15
(2) 圆柱体镦粗问题
f
采用圆柱坐标 (r,θ,z),设 h为圆柱体的高度，R为
半径，σr为径子午面上的正应力， f为接触表面上的摩擦
切应力。从变形体中切
取一高度为h、厚度为
dr、中心角为dθ的单元
体
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d r d h r r d h 2 f r d d r 2 h d r s i n d 2 0
dp 2p 0
整理得: dr h
积分得:
2 r
p Ce h
利用应力边界条件:r=R 时, r 0
2 R
得到: C se h
2(Rr)
及pse h
变形力:
R
P 2r 0
R 2 (R r) pdse rh 2r
0
d 2 rsh 22 e2 h R 1 2 hR
图 8-28 圆柱体镦粗
谢谢观赏
➢ 简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： k n （滑动摩擦）
常摩擦定律： k k 式中：
（粘着摩擦）
k——摩擦应力 k——屈服切应力（ k s / 3 ）
—n —正应力 ——摩擦系数
➢ 其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。
3 镦粗的主应力法分析
•6个应力分量 •6个应变分量 •3个位移分量 •比例系数dλ
应力平衡微分方程：
x yx z x 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
应变几何方程:
x
u x
;
xy
yx
1 u
2
y
v
x
y
v y
式中，p为工具作用在长矩形板上的单位压力，为摩擦系数
得:
dx 2p 0
dx h
4）引用屈服准则
设工具作用在变形体上的单位压力p为正值,则y方向上的压缩应力
y p
根据平面应变状态的密塞斯屈服准则得: xyxp2k
对上式微分得: dx dp
整理得: dp 2p 0
dx h
(xy)24x 2y4k2
dx 2p 0
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平 面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧 制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。
2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一 个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微 分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的 正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单 元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
4 必要时需要考虑板料的各向异性
4 圆筒件拉深的主应力法分析
拉深也称拉延，是利用拉伸模具将一定形状的平板毛坯制成各种形状的开口空 心零件的冲压工艺方法。 1 拉深过程的变形特点
圆筒件的拉深
板料拉深时的变形特点
2 变形区的应力应变分析 1、凸缘变形区的应力分布 截取扇形基元体 沿径向列基元体的平衡方程：
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
)]
—
d dy
—
[
y
1 2
(
x
z
)]
—
d dz
—
[
z
1 2
(
x
y
)]
—
d d xy
3 2
— xy
—
d d
yz
3 2
—
yz
—
d d zx
3 2
— zx
屈服准则
(x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 ( x 2 y y 2 z z 2 ) x 6 K 2
8）变形功w
设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一 瞬时，矩形板高度为h，变形体体积为V,在变形力P作用下，高
度发生变化dh，则变形功为 : h1
h1 V
W Pdh p dh
h0
h0 h
得:
W
h1 h0
2bkhebh
1Vh dh
由体积不变条件可得:
bV lh
W
2k
l
可以求解变形力和变形功，但是无法求出变形体内的应力分布。
➢ 求解原理
P SndspS
常用 单n —位—压工力作应p 表力示，一般它在工作面上是不均匀的，
S——工作面积，按“工作面投影代替力的投影”
法则求解
求解要点 ➢工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡 微分方程和塑性条件。 ➢ 这些简化和假设如下：
平均压力:
p P
R2
2Rs2h22e2hR12hR
4 圆筒件拉深的主应力法分析
1 板料大多数是一个板面与模具接触，另一个板面为 自由表面，厚向应力很小，多可作平面应力问题处 理；
2 板料成形大多数在室温下进行，因此必须考虑材料 加工硬化，因此往往需要真实应力-应变曲线来表 达；
3 板料成形过程厚度是变化的，但为了简化问题，求 解过程中忽略材料厚度变化；
弯
2
b
Rd 1
t
3）考虑凹模圆角摩擦阻力增大径向拉应力，乘上摩擦阻力系数 e 2 11.6 。
最后得：
p
r max
Q r0t
1 1.6
2
b
Rd 1
t
作业
思考题
8. 镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 0 ，如图 8-28 所示。设摩擦切
应力满足常摩擦条件，试用主应力法求解单位流动压力 p。
z z
0
z z z 0 z
x xy 0 x y xy y 0 x y
2 主应力法的基本原理
以均匀塑性变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化 为常微分方程，将密塞斯屈服准则二次方程简化为线性方 程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。
f
r r dr
单元体径向的静力平衡方程:
r d r r d h r d r rh 2 fr dd 2 r h s d d d 2 i n 0 r
整理得: dr 2f r 0
dr h r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
周向应变 :d2r2d rr2rd rr
（1）长矩形板镦粗问题的求解（滑动摩擦，直角坐标系）
设矩形板的长度,高度,宽度分别为:l, h, b; 且l远大于h, b,近似地认为矩形板沿
长度方向的变形为零（最小阻力流动原理）。 1）切取单元体
设Z轴方向的变形为零 ,切取宽度为dx、长度为l的单元体
长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
➢ 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上 的正应力假定为主应力，忽略切应力和摩擦切 应力，将二次方程简化为线性方程。
对于平面应变问题，塑性条件 (xy)24x 2y4k2
简化为： xy 2k 或 dx dy
对于轴对称问题，塑性条件 (rz)23z2rs2
可简化为 rzs 或 dr 者 dz 0
dx h
5） 积分并确定积分常数