H
G
D
A B E F
A
D E 2018年北京大学自主招生数学模拟试题
答题时注意:
1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.
2、试卷共三大题，计1６道题。

考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）
1、如果关于x 的方程2
2
30x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ） A 、26 B 、28 C 、24 D 、30
3 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：
6
663
3
6
3
3
)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式
xyz z y x 33
33-++的值是………………… （ ）
A 、0
B 、1
C 、3
D 、条件不足，无法计算
4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知：
︒=∠=∠=30,5
3
cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长
是………………… （ ）
A 、89
B 、73
C 、4+33
D 、3+43
5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ）
A 、296
B 、221
C 、225
D 、641
二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）
6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。

7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。

8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。

9、已知：2
53+=
x ，则2可用含x 的
有理系数三次多项式来表示为：2= 。

10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2
2
2
3
r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。

三、解答题（共6题，共90分）
11、（本题满分12分）
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z L L ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326L ，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]2
1[26(1]2[x x x x
y ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不
超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]2
1
8[8=++→，即q h 变成 ，再如
61]2
11
[11=+→，即f k 变成。

他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw
wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。

现在就请你把它翻译出来，并简单地写
出翻译过程。

12、（本题满分15分）
如果有理数m 可以表示成2
2
562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。

⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？
⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。

13、（本题满分15分）
如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积之比是3∶1∶4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设k EA
DE
GD BG ==。

⑴求32207+k 的值； ⑵若点H 分线段BE 成
2=HE
BH
的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。

14、（本题满分16分）
观察下列各个等式：ΛΛΛ,304321,14321,521,112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++=++=+=。

⑴你能从中推导出计算2
22224321n +++++Λ的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线322
++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OA
n 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、Λ，分别过这1-n 个点作x 轴
的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、
、、、、、Λ，设△1OBA 、 △211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为
n S S S S S 、、、、、Λ4321 。

①当2010n =时，求123452010S S S S S S ++++++L 的值；
A
K
N
O
P
S W
Y
②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？ 15、（本题满分16分）
有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC ； ②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL ； ③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN ；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ 。

它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。

我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。

⑴证明：第④种塑料板“可操作”；
⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

16、（本题满分16分）
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。

如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。

⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。

⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EF
DE
=，试作出分别以m
n
n m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。