§8.4 非平衡载流子及其运动
1．稳态与平衡态
如果一个系统的状态不随时间变化，则称系统到达了稳态；
如果一个系统的状态不随时间变化，且与外界没有物质及能量交换，则此系统就处于平衡态。

平衡态标志 200i n n p =
平衡是一种动态平衡，不断地有电子-空穴对通过激发产生出来，同时不断地有电子和空穴相遇而彼此复合消失。

产生过程：起因于各种激发，如热激发，光激发，高能粒子碰撞激发；产生率G 指单位时间通过单位体积产生的电子-空穴对数。

复合过程：电子和空穴相遇而复合消失，复合率R 指单位时间通过单位体积复合掉的电子-空穴对数。

显然复合率取决于电子和空穴的浓度，而且一般取决于少子浓度。

平衡态下的产生率和复合率分别记作0G 和0R ，则00R G =。

外界作用破坏了系统平衡，从而使电子和空穴的浓度不同于热平衡时的数值0n 和0p 。

我们把这种“过剩”的载流子称为非平衡载流子。

光照可以直接激发电子-空穴对，称为非平衡载流子的光注入；对p-n 结施加偏压，也可以产生非平衡载流子；称之为电注入。

如果是n 型半导体，n Δ可能远少于平衡多子浓度n ；但p Δ却可能远大于平衡少子浓度p ，就是说非平衡少子浓度可以远较平衡值为大。

2．寿命
光照停止后，热激发仍然存在，所以载流子的产生率并不为零。

因此，我们采用“净复合率”这一术语描写载流子浓度的实际减小量：
净复合率γ= 复合率R - 产生率G 。

此时的产生率仅由热激发引起，即0G G =。

载流子的复合可以有多种途径。

半导体中的自由电子和空穴在运动中会有一定概率直接相遇而复合，使一对电子和空穴同时消失，这称直接复合。

从能带角度讲，直接复合就是导带电子直接落入价带与空穴复合。

实际半导体中含有杂质和缺陷，它们在禁带中形成能级，导带电子可能先落入这些能级，然后再落入价带与空穴复合，这称为间接复合。

无论直接复合还是间接复合，净复合γ一般正比于)(2i n pn −，显然，平衡态时由于200i n n p pn ==，故0=γ。

p p τγ/Δ≈ (8.4-2)
也就是说，净复合率正比于非平衡少子浓度。

在任意时刻t ，少子的浓度为)(t p ，而在时刻t t δ+时少子浓度为)(t t p δ+。

如用γ代表空穴的净复合率, 则有
p t t p t p t δδγδ−=+−=)()(
这里我们用p δ代表空穴浓度的增量，光照停止后它应为负值。

在极限情形有
dt dp /−=γ (8.4-3)
结合(8.4-2)式，得到空穴浓度p 所满足的微分方程 00=−+p
p p dt dp τ (8.4-4) 解可写成 p t Ce p p τ/0−+= (8.4-5)
如果我们取光照停止的瞬时作为时间的起点，则可由0=t 时，)0()0(0p p p Δ+=，代入得积分常数)0(p C Δ=，所以
p t e p p p p τ/0)0(−Δ=−=Δ (8.4-6)
上式说明非平衡载流子浓度随时间作指数衰减,这就是说非平衡载流子的“生存时间”有长有短，在t ～t t δ+时间内消失掉的非平衡空穴数为
t e p t t p t p p p t p δτδδτ/)0(1)()(−Δ≈
+Δ−Δ=
因此平均“生存时间”为 p t t dt e dt
e
t p p t t p p τδδττ=⋅=⋅=∫∫∑∑∞−∞−0/0/ (8.4-7)
所以参量p τ称为非平衡载流子（空穴）的寿命。

p τ的物理意义乃为非平衡载流子浓度衰减至1/e 所需的时间或非平衡载流子的平均生存时间，它可以描写扰动撤除后平衡恢复的快慢。

非平衡载流子的寿命与半导体中晶体结构的缺陷以及重金属杂质的存在与否有着直接的关系。

这些晶格不完整性的存在往往促进非平衡载流子的复合而使其寿命降低。

因此非平衡载流子寿命的测量就成了鉴定半导体材料晶体质量的常规手段。

3．扩散运动 我们再讨论非平衡载流子在空间不均匀分布时的情况。

如图
8.4-1所示，设想以均匀光照射半无限的n 型半导体表面，因此问题
实际上可简化成一维来处理。

假设半导体对光的吸收相当强，以至于实际上可以认为只是在表面极薄的一层范围内产生非平衡载流子，从而形成了表面与体内
载流子浓度的差异。

非平衡的空穴将向材料内部扩散。

取垂直于半导体表面指向内部为x
轴光照Δ 图8.4-1
的正方向。

以p S 代表空穴扩散流密度（单位时间通过单位面积扩散的空穴数），根据扩散的一般规律有 x
p D S p p ∂Δ∂−= (8.4-8) 式中p D 为空穴的扩散系数。

此式表明非平衡载流子扩散速度与其浓度的梯度成正比，扩散方向与梯度方向相反。

现考虑一小体积元，如图8.4-2所示，设底面积为Σ，则单位时间通过x 处底面流入小体元的空穴数为∑⋅)(x S p ，通过x x δ+处底面
流出小体元的空穴数为∑⋅+)(x x S p δ，两者之差就是净复合空穴数。

故
x p x x S x S p
p p δτδ⋅∑⋅Δ=∑⋅+−∑⋅)()( 即 p p
p
x S τΔ=∂∂− (8.4-9)
式中p Δ为非平衡空穴浓度，p S 为空穴扩散流密度。

上式左代表空穴流密度随空间位置的变化而引起的空穴积累；右边则代表复合引起的损失。

将(8.4-8) 式代入上式，p Δ满足的方程为 02
2=Δ−∂Δ∂p p D p x p τ (8.4-10) 其解可写为 exp()0(p p D x
p p τ−Δ=Δ (8.4-11) 上式即为非平衡少子浓度的空间分布。

式中p p D τ具有长度的量纲，我们称为扩散长度，用p L 代表： p p p D L τ= (8.4-12)
p L 反映非平衡载流于在遭遇复合前平均能扩散多远，其物理意义则是非平衡载流于浓度降至1/e 所需的距离。

完全类似，对非平衡电子，其扩散长度n L 为 n n n D L τ= (8.4-13)
式中 n D 及n τ
分别为电子的扩散系数和寿命。

) x+ 图8.4-2
扩散系数与迁移率之间存在着著名的爱因斯坦关系
q T k D B p p //=μ，q T k D B n n //=μ (8.4-14)
这里B k 为玻耳兹里常数，T 为绝对温度，q 为电子电量。

4. 连续性方程
设光均匀照在n 型半导体表面，假设半导体对光的吸收相当强，实际上可以认为只是在表面极薄的一层范围内产生非平衡载流子。

现在再令沿x 方向施加电场E 。

则少数载流子将同时存在扩散运动和漂移运动，空穴流密度为 dx
dp D E p S p p p −=μ (8.4-15) 式中第一项为漂移流密度，第二项为扩散流密度。

在运动过程中，空穴会不断地和电子复合而减少，因此空穴流密度是随x 变化的。

与(8.4-9)式推导方法类似，因空穴运动引起在单位体积的空穴积累率为dx dS p −
，所以反映空穴
运动的连续性方程为 R G dx dS t p p −+−=∂∂ (8.4-16) 式中G 为产生率，R 为复合率。

将G 写为
g G G +=0 (8.4-17)
g 为除热激发外其他外界作用的产生率（如光在半导体内部有吸收时，体内光生载流子的产生率）。

热平衡时产生等于复合，所以
γγ−=+−+=−g R g G R G )()(00 (8.4-18) 可得 γμμ−+∂∂−∂∂−∂∂=∂∂g x E p x p E x
p D t p p p p 22 （8.4-19） 类似地，电子流密度为 dx
dn D E n S n
n n −−=μ (8.4-20) 电子运动连续性方程 γμμ−+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂g x E n x n E x n D t n n n n 22 （8.4-21） 连续性方程反映了半导体中载流子运动的普遍规律，是研究半导体器件原理的基本方程之一。

电子和空穴都是带电粒子，无论扩散运动或漂移运动都伴随着电流的出现。

空穴电流为 dx dp qD E qp qS J p
p p p −==μ （8.4-22） 式中q 为电子电量。

电子电流为 dx
dn qD E qn qS J n n n n +=−=μ （8.4-23） 总电流为空穴电流与电子电流之和 )()(dx dp D dx dn D q E n p q J J J p n
n p n p −++=+=μμ （8.4-24）。