两边对 x 求导
1 y
y
cx o ls x n sin x x
yxsix(n co xlsn x six)n x
.
10
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
,
求
dy dx
.
解：两边取对数得
ln y 1 ln(x1)ln(x2) ln 2 x ( 1 )2 le n 2 x 1
3
1 ln(x1)ln(x2) 2 l2 n x 1 ) ( ( 2 x 1 )
3 方程两边分别对 x 求导数，
1 y
y
1 1 3 x 1
1 x2
4 2x 1
故
dy dx
x
0
1 2
.
4
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例3 求由方程 ey xye0所确定的隐函数 yy(x) 的导数 y(x), 并求出 y(0), 写出通过曲线 yf(x) 上
点 ( 0, 1) 的切线方程.
解：方程两边对 x 求导
e y y 1 y x y 0 0
解出 y 得
y
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
.
1
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一、隐函数的导数
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 .
例如, xy310可确定显函数 y31x y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
1 d y 1 cos y dy 0
dx 2
dx
所以 dy 2 .
dx 2 cos y
d2y dx2
d( dx
2 2 cos y
)
0 2 sin y dy dx
(2cos y)2
4sin y (2 cos y)3
.
7
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练：求由方程 arctanyln x2y2 所确定的 x
lnyx ln a a[ln bln x]b[ln xln a]
b
两边对 x 求导
y ln a a b y b xx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
.
11
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例7. 设 y
(x1)(x2) , (x3)(x4)
两边取对数
求导数。
(lnu )u u
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
.
2
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例1 求方程 ex ey xy1所确定的隐函数的导
数 dy .
dx
解：方程两边分别对 x 求导数，
e xey dy y x dy 0
dx
dx
所以
dy dx
ex ey
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1
y2
1 x 1
1 x
2
1 x3
1
x4
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
.
12
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练习
设
y 3
(x1)(x2) (2x1)2e2x1
隐函数的导数 d y . dx
dy x y dx x y
.
8
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对数求导法： 对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法
求导简便些.
1) 对幂指函数 y[u(x)]v(x)，u(x),v(x) 都可导.
两边取对数(化成了隐函数), 然后按隐函数求导法
求出 y 的导数.
y x
.
.
3
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例2. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x)在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
得 5 y 4 d y 2 d y 121x6 0 dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=ห้องสมุดไป่ตู้,
16 9
2
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 16
x y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即 3x4y830
.
6
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例5. 求由方程 xy1siny0确定的隐函数的
二阶导数。
2
解：方程两边分别对 x 求导数，
x
y e
y
将 x 0代入 eyxye0,得 ey e0, 解得 y 1
所以
| y(0) y (0,1) 01e1
1 e
点 ( 0, 1) 的切线方程为 y 1 1 (x 0)
即 y 1 x 1 .
e
5
e
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例4. 求椭圆 x2 y2 1 在点( 2 , 3 3 ) 处的切线方程.
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
.
14
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
即 lnyv(x)lnu(x)
1 y
y
v(x)lnu(x)v(x)
1 u(x)
u(x)
y[u (x)]v(x)(v(x)lnu (x)v(x)u (x)) u (x)
.
9
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例6. 求 yxsixn(x0) 的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln ysixn ln x
2
y
13 3
(x1)(x2) (2x1)2e2x1
x
1
1
1 x2
4 2x 1
2
.
13
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
yx
(t) (t)
可确定一个
y
与
x
之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
(t)0时, 有
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)