五章 习 题5.1 求下列各时间函数()t f 的像函数()s F 。
(1) ()()()t U e t f at--=1 (2) ()()()t U t t f φω+=sin(3) ()()()t U at e t f at-=-1 (4)()()()t U e a t f at --=11(5)()()t U t t f 2= (6) ()()()()t t U t t f δ32++= (7) ()()t tU t t f ωcos = (8)()()()t U at e t f at 1-+=-答案5.2 求下列各像函数()s F 的原函数()t f 。
(1) ()()()()()4231++++=s s s s s s F (2) ()()()126516222++++=s s s s s F(3) ()2399222++++=s s s s s F (4) ()()ss s s s F 2323++=答案(1)42)(321++++=s K s K s K s F83)4)(2()3)(1(01=⨯++++==s s s s s s s K41)2()4)(2()3)(1(22=+++++=-=s s s s s s s K83)4()4)(2()3)(1(43=+++++=-=s s s s s s s K48324183)(++++=s s s s F )()834183()(42*t U e e t f t t -++=(2)1245152393425121232)(321+++-++=+++++=s s s s K s K s K s F )()45152934512()(1232t U e e e t f tt t ---+-=(3)21122)2)(1(532)(++++=++++=s s s s s s F)()2()(2)(2t U e e t t f tt --++=δ (4)24111)2)(1(23123)(22+-++=+++-=++=s s s s s s s s s F )()4()()(2t U e e t t f tt ---+=δ5.3 求下列各像函数()s F 的原函数()t f 。
(1) ()8666223++++=s s s s s s F (2) ()()2211+=s s s F答案(1)4422)(+-+++=s s s s F)()42()()(42t U e e t t f tt ---+'=δ (2)s s s s s s K s K s K s K s K s F 3113)2(2)1(11)1()1()(2232222113212311-+++++++=+++++++=)()3()()321()()33221()(22t U t t U e t t t U t e te e t t f t t t t -+++=-+++=----5.4 求下列各像函数()s F 的原函数()t f 。
(1) ()()()41221+-+=--s e s F s (2) ()()se s s F --=11 (3) ()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s e s F s答案(1)因22)1(222)1(2212)1(2)(+-⨯++-=--s e s s F s 又因有42)(2sin 2+↔s t tU故由时移性有 se s t U t -+↔--42)1()1(2sin 2又由复频移性有)1(24)1(2)1()1(2sin --+-↔--s t es t U t e故 )1()1(2sin 21)(2sin )(--+=t U t e t tU e t f t t(2)s e s s F --⨯=111)( 故 ∑∑∞=∞=-=-*=0)()()()(n k K t U K t t U t f δ, N K ∈(3)s e e s F s s ---⨯-=121)(因有 )1(1)1()(s e s t U t U --↔--故[][])2()2()1()1(2)()1()()1()()(--+---=--*--=t U t t U t t tU t U t U t U t U t f5.5 用留数法求像函数()()()321617422++++=s s s s s F 的原函数()t f 。
答案令)(s F 的分母0)3()2(2=++s s ，得到一个单极点31-=s 和一个二重极点22-=s 。
下面求各极点上的留数。
[]ts st s ste e s s s es s F s 332231)2(16174)3)((Re --=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=[]=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-=22)2)(()!12(1Re s st e s s F dt d s=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=22)316174(s st e s s s ds d =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++-=22223161749635244s st st e s s s t e s s s s t t te t te e222)23()2(3----=-+故[])()23()(23t U e t e t f tt ---+=5.6 求下列各像函数()s F 的原函数()t f 的初值()+0f 与终值()∞f 。
(1) ()112232+--++=s s s s s s F (2) ()123++=s s s s F(3) ()s s s s s F 231223+++= (4) ()()4122+-=-s s e s F s答案初值定理应用的条件是，)(s F 必须是真分式；终值定理应用的条件式：（1）)(s F 的极点必须在s 平面的左半开平面；（2）在0=s 处，)(s F 只能有一阶极点。
也就是说，终值定理只有在)(t f 有终值的情况下才能应用。
例如，当)(t f 维周期函数时就，终值定理就不能适用了。
(1))1()1()1()1)(1()1(112)(2222232+-+=--+=+--++=s s s s s s s s s s s s F 由于)(s F 在s 的右半开平面上有二阶极点1=s ，故)(t f 的终值不存在。
1lim )1()1()1(lim )0(3322==+-+=∞→∞→+s s s s s s f s s(2)1lim )(230=++=∞→s s s s f s又111)(2+++-=s s s s F故 011lim )0(2=++=∞→+s s sf s(3)212312lim )(330=+++=∞→s s s s sf s 02312lim )0(23=+++=∞→+s s s s sf s(4))4(1lim )0(22=+-=-∞→+s s e s f ss因)(s F 在j ω轴上有一对共轭极点，故)(s F 对应的()f t 不存在终值。
5.7 已知系统的微分方程为()()()()()t f t f t y t y t y 323''''+=++ 激励()()t U e t f t 3-=系统的初始状态为()10=-y ，()20'=-y 。
试求系统全响应()t y 的初始值()+0y 和()+0'y 。
答案系统全响应的初始值(0)y +是等于(0)y -加上零状态响应()f y t 的初始值()f y t +，即)0()0()0(+-++=f y y y )0()0()0(+-+'+'='f y y y在零状态条件下对原微分方程等号两边同时求拉普拉斯变换，得)(3)()(2)(3)(2s F s sF s Y s sY s Y s f f f +=++令31)(+=s s F ，代入上式有131331)()23(2=+++=++s s ss Y s s f故231)(2++=s s s Y f故得零状态响应)(t y f 的初始值为0231lim )0(2=++=∞→+s s sy s f因21()()32f f y t sY s ss s '⎡⎤==⎣⎦++故得1231lim )0(2=++⨯='∞→+s s ss y s f故得全响应得初始值为101)0()0()0(=+=+=+-+f y y y 312)0()0()0(=+='+'='+-+f y y y5.8 图题5-8(a)所示电路，已知激励()t f 的波形如图题5-8(b)所示。
求响应()t u ，并画出()t u 的波形。
)(t f +-Ω1NΩ1+-1F)(t u (a)(b)图题5-8答案图题5-8（a ）所示电路的开关等效电路，如图题5-8（c ）所示。
0t <时S 在1，电路已工作于稳态，电容C 相当于开路，故有(0)1u -=-V 。
0t >时S 在2，故可作出0t >时的s 域电路模型，如图题5-8（d ）所示。
故可列写出节点N 的KCL 方程为s s s s s s U s 31113)()1111(+-=-+=++故22523)2(3)(++=++==s s s s s s U 故得 )()2523()(2t U e t u t --= ()u t 得波形入图题5-8（e ）所示。
)(t f +-Ω1NΩ1+-1F)(t u (a)(b)Ω1+-)(t u 1S (c)s3+-Ω1NΩ1+-)(t U (d)s1s1-+-(e)图题5-85.9 图题5-9所示零状态电路，激励()()V t U t f =，求电路的单位阶跃响应()t u。
+-)(t图题5-9答案图题5-9（a ）电路的s 域电路模型，如图5-9（b ）所示。
故得411212212)(2+=⨯+⨯=s s s s ss s U 故得 )(2sin )(t tU t u =+-)(t (a)+-)(s (b)图题5-95.10 图题5-10所示电路，已知()A i 10=-，()V u 10=-，()()V t tU u sin 0=-。
求全响应()t u 。
u图题5-10答案图题5-10（a ）电路的s 域电路模型，如图题5-10（b ）所示，其中11)(2+=s s F 。
故可列写节点N 的KCL 方程为(a)u+-(b)Ω1()F s +-Ns 32s 2Ω1s132+-)(s U图题5-10s s s U ss 12111)()2321111(2-++=+++ 故15215128.212)1)(3)(1(232)1)(34(232)(222232223+++++++-=+++-+-=+++-+-=s s ss s s s s s s s s s s s s s s U故得[])()43.63cos(447.08.22)()sin 52cos 518.22()(22t U t e e t U t t e e t u t t t t -++-=+++-=----（V ）5.11 图题5-11(a)所示电路，已知激励()t f 的波形如图题5-11(b)所示，()()()[]V t U e t U t f t -+-=22。