《概率论与数理统计》期（末）练习卷答案一、填空题 ( 每空2分,共30分)设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 发生B 与C 都不发生”可表示为_____________;事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________；事件“A 、B 、C 都不发生”可表示为______________。

（C B A ；C B A ⋃⋃;C B A ⋂⋂）100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算式）。

（5100290310C C C ）3. 已知随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,4.01,0x x x x x F ，则P(X=1)=__，P(X=2.5)=__。

解： F(x)的跳跃点分别是1，2，3，对应的跳跃高度为0.4，0.1，0.5。

故其分布律为∴P(X=1)=0.4, P(X=2.5)=04. 设()3,1~N X ，则X 的函数Y=~ N(0,1)。

（31-X ）5. 设二维随机变量()Y X ,的联合分布律为{}121,===j i y Y x X P ，;3,2,1=i 4,3,2,1=j ，则{}==1x X P __________。

解：∴{}==1x X P 36. 已知5.1=EX ，62=EX ，则()_______2=X E ，_______)(=X D ，()______2=X D 。

解： 35.1*2)(2)2(===X E X E75.35.16)()()(222=-=-=EX X E X D1575.3*4)(4)2(===X D X D7. 在假设检验中若原假设0H 实际为真时却拒绝0H ，称这类错误为。

弃真（第一类错误） 8. 设随机变量()p n b X ,~，且4.2=EX ，44.1=DX ，则________=n ；__________=p ；()________0==X P 。

解：64.06.044.1)(4.2)(=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧====n p q npq X D np X E {}()66.00==x p二、解答题（共70分）（8分）将两信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为02.0，而B 被误收作A 的概率为01.0。

信息A 与信息B 传送的频率程度为1:2。

1）若接受站收到一信息，是A 的概率是多少？2）若接受站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？解：设1A ，2A 分别表示发出A ，B ； 1B ，2B 分别表示收到A ，B ，则1）()()()()()2121111A B P A P A B P A P B P +=01.03198.032⨯+⨯=6567.0= 2）()()()()9949.01971966567.098.032111111==⨯==B P A B P A P B A P2. （8分）设X 是连续型随机变量，已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-000x ,x ,Ae )x (f x λ， 其中λ为正常数。

试求 (1)常数A 。

(2)X 的分布函数)x (F 。

解： （1）由10)(00==+=⎰⎰⎰∞+-∞+∞-∞-λλAdx Ae dx dx x f x 得λ=A -（2）⎰∞-=xdx x f x F )()(当 0<x 时，00)(==⎰∞-xdx x F当0≥x 时，x xxx e dx e dx dx x f x F λλλ-∞-∞---=+==⎰⎰⎰10)()(0所以⎩⎨⎧<≥-=-01)(x x e x F xλ 3. （10分）二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其他,00,10,1,xy x y Ay y x f （1） 试确定常数A ；（2） 求关于X 和Y 的边缘密度函数； （3） 判断X 和Y 是否相互独立。

解：(1)由()()dy y Ay dx dxdy y x f x ⎰⎰⎰⎰-=+∞∞-+∞∞-0101,112321032==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰Adx x A x A得：12=A (2)()()⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰⎰∞+∞-其他其他,010,46010)1(12,320x x x x dy y y dy y x f x f x X⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰⎰∞+∞-其他其他010)1(12010)1(12),()(21y y y y dx y y dx y x f y f y Y(3)()()()y f x f y x f Y X ⋅≠, 所以X 与Y 不相互独立。

（8分）某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E 千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？解：设至少需供给nE 千瓦电量，设X 为同时开动的车床数，则)6.0,200(~B X484.06.0200)1(,1206.0200=⨯⨯=-=⨯=p np np由999.0}{≥≤n X P ，得999.0}4812048120{≥-≤-n X P即01.348120999.0)48120(≥-⇒≥-Φn n ，所以141=n 。

5. (10分)设n X X X ,,,21 为总体的一个样本，总体X 的概率密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=-其他,010,1x x x f θθ， 其中0>θ为未知参数。

求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。

解：(1)()111110+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===+∞+∞-⎰⎰θθθθθθθx dx x dx x xf X E ）（， 令μθθ=+=1)(X E 解出θ得：μμθ-=1将X =μˆ代入得θ的矩估计量为： XX-=1ˆθ (2)似然函数为ni i x f L 1)()(==θ=11)(-=∏θθni i n x()()∑=-+=ni i x n L 1ln 1ln ln θθθ令()0ln ln 1=+=∑=ni i x n d L d θθθ ∏=-=n i i x 11θθ解得θ的极大似然估计量为：⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i x n 1ln ˆθ（10分）为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得h S h x 20,1500==．如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间．解:(1)这是一个未知方差求μ的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知,05.0,95.01==-ααn=10,20,1500==S x .查表得262.2)9()1(025.02==-t n t α．因此，μ的95%置信区间为[][]3074.1514,6926.14853074.141500,3074.141500/)1(,/)1(22=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n S n t x n S n t x αα (2)这是一个求σ的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得==-)9()1(2025.022χχαn 19.023，70.2)9()1(2975.0221==--χχαn ． 2σ的95%置信区间为]3333.1333,2446.189[700.2209,023.19209)1()1(,)1()1(222222212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----n S n n Sn ααχχ．开方后得到σ的置信区间为［13.7566，36.5148］。

7. （10分）某校进行教学改革，一学科学生成绩X 服从正态分布，2,σμ均未知。

现抽测19人的成绩如下：70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？（05.0=α）解：检验0H ：700=≤μμ；1H ：0μμ>n Sn t )1(2-α10202622.2⨯=3074.14=选取统计量：nSX t 0μ-=由题意条件得：19=n ，6316.76=X ，S=15.023,05.0=α()7341.11805.0=t拒绝域： 从而9242.10=-=nSX t μ>1.7341故拒绝0H ，即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。

}7341.1{>=t W。