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生活中的优化问题举例(22)
c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的 r.
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)设容器的容积为 V,
由题意知 V=πr2l+43πr3,又 V=803π,
故 l=V-π43r2πr3=38r02-43r=432r20-r .
当 r3-c2-02=0 时,r=
3 20 c- 2.
令 3 c2-02=m,则 m>0,
所以
y′=8π
c- r2
2(r-m
)(r2+
rm+m
2).
①当 0<m<2,即 c>9时, 2
当 r=m 时,y′=0;
第一章
导数及其应用
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第一章 导数及其应用
当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. ②当 m≥2,即 3<c≤92时, 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 综上所述,当 3<c≤92时,建造费用最小时 r=2;
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第一章 导数及其应用
解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元), 底面的总成本为 160πr2 元,所以蓄水池的总成本为(200πrh + 160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 所以 h= 1 (300-4r2),从而
故 x=5 是 f(x)的最小值点,
对应的最小值为
f(5)=6×5+158+ 00
= 5
70.
当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.
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第一章 导数及其应用
题型三 利润最大问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的
销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关
20×3x4+0
+ 5
6x
=38x+00 5+ 6x(0≤ x≤ 10).
(2)f′ (x)= 6- 32x+40502,
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第一章 导数及其应用
令 f′(x)=0,即32x4+0052=6,
解得 x=5(x=-235不合题意,舍去).
当 0<x<5 时,f′(x)<0;
当 5<x<10 时,f′(x)>0.
第一章 导数及其应用
1.4 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用
学习导航
学习目标
利润最大、用料 实例 ―了―解→ 最省、效率最高 ―理―解→
等优化问题
由实际问题建立数
运用由导数求最
学模型,并表示为 ―应―用→ 值的方法解决实
适当的函数关系式
际中的优化问题
重点难点 重点:运用由导数求最值的方法解决生活中 的优化问题.
第一章 导数及其应用
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2.解决优化问题的基本思路 函数
第一章 导数及其应用
导数
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第一章 导数及其应用
想一想 2.解决应用问题的步骤是什么?
提示:实际应用问题的解题步骤:
读题
建模
求解
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答.
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第一章 导数及其应用
典题例证技法归纳
题型探究
35(x≥
0),
∴所求的函数关系
式为
- y=
x2+ 98x+ 2 x+ 1
35(x≥
0).
当 x=100 时,y<0,即年广告费投入 100 万元时,企
业亏损.
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第一章 导数及其应用
(2)令
y=
- f(x)=
x2+ 98x+ 2 x+ 1
35(x≥
0),得
f′(x)=-
2x+
98
·2
x+1-2- 4 x+12
系式
y=x-a
+ 3
10(x-
6)2,其中
3<x<6, a
为常数.已知
销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克.
(1)求 a 的值;
(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售量价格 x 的 值,使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)因为 x=5 时,y=11,所以a2+10=11,a=2.
题型一 面积、容积的最值问题 例1 如图,有一块半椭圆形钢板,其
长半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭 圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值.
由于 l≥2r,
因此 0<r≤2.
所以建造费 用
y=
2πrl×
3+
4πr2c=
2πr×
4 3
2r20-
r
×
3
+
4πr2c,
因此 y=4π(c-2)r2+16r0π,0<r≤2.
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(2)由(1)得 y′=8π(c-2)r-16r02 π
=8π
c- r2
2r3-c2-0
2
,
0<r≤
2.
由于 c>3,所以 c-2>0.
f(x)的最
大
值.因此,当 x=2r时,S 也取得最大值,最大值为 fr2
=3 3r2,即梯形面积 S 的最大值为3 3r2.
2
2
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)解决有关面积、容积的最值问题,要正 确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问 题的定义域,利用导数求解函数的最值. (2)借助直角坐标系来沟通变量间的关系,是处理几何问题 的常用方法.
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第一章 导数及其应用
解:(1)由题意,每年销售 Q 万件,共计成本为(32Q+
3)万元.销售收入是 (32Q+ 3)·150%+ x·50%,
∴年利润 y=(年收入)-(年成本)-(年广告费)
=12·(32Q+ 3- x)
=1232·3xx++11+3-x
- =
x2+ 98x+ 2 x+ 1
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第一章 导数及其应用
跟踪训练 1.(2013·高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积 为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成 本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水 池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的 体积最大.
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第一章 导数及其应用
解:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费
用为
C(x)=3xk+
, 5
再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=3x4+0 5.
而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)
=
20C(x)+
C1(x)=
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系(如 图),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标 y 满足方程xr22+4yr22= 1(y≥0),解得 y=2 r2-x2(0<x<r). S=1(2x+2r)·2 r2-x2=2(x+r)· r2-x2,其定义域为{x|0<x
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)解决此类有关利润的实际应用题,应灵 活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等 量关系有: ①利润=收入-成本; ②利润=每件产品的利润×销售件数. (2)对于单峰函数来说极值点就是最值点.
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第一章 导数及其应用
跟踪训练 3.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销,在一年内,预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间 的函数关系为 Q=3xx++11(x≥0),已知生产此产品的年固定 投入为 3 万元,每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元.若 每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均 每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数.如 果年广告费投入 100 万元,企业是亏损还是盈利? (2)年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?
难点:由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关 系式.
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第一章 导数及其应用
新知初探思维启动
1.优化问题 生活中经常遇到求__利__润__最__大___、__用__料__最__省__、_效__率__最__高__ 等问题,这些问题通常称为优化问题.
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想一想 1.求函数最值的常用方法有哪些? 提示:①利用二次函数性质; ②判别式法; ③基本不等式法; ④导数法; ⑤换元法.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量
y=x-2
+ 3
10(x-
6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)
=
(x
-
3)
2 x-
+ 3
10
x-
62
=
2
+
10(x
-
3)(x
-
6)2,3<x<6.