生活中的优化问题举例学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是（ ） A．32 B ．16 C．16π D ．642．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）D ．3．若商品的年利润y （万元）与年产量x （百万件）的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123（x>0），则获得最大利润时的年产量为（ ） A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件4．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（ ）A ．1∶2 B ．1∶π C ．2∶1 D ．2∶π5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为（ ）A cmB ．100cmC ．20cmD ．20cm 36．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：32133684y t t t =--+-6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是（ ）A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时7．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为（ ） A ．4 B ．8 C ．43 D ．838．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R （x ）元与年产量x 的关系是()R x =3400,0390,90090090,390,x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨⎪>⎩则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ） A ．150 B ．200 C ．250 D ．300二、填空题9．球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为_________. 10．抛物线22y x =-与x 轴所围图形的内接矩形的最大面积为_________. 11．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a ＝________.三、解答题12．要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底面单位面积造价是侧面单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底面半径和高，才能使总造价最低？13．等腰三角形的周长为2p ，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？14．一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ，长为10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上），设BOC θ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求θ的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．参考答案1．A【解析】设矩形的长和宽分别为,a b ，则2264a b +=，则()2222264S a b a a==-4264aa =-+，∴()234128Saa '=-+，令()20S '=，得0a =（舍去）或a =-或a =当(a ∈时，()20S'>，当()a ∈时，()20S '<，则2S 在a =()((()2222max6432S ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，即面积的最大值为32，故选A.考点：面积最大问题. 2．C【解析】设底面边长为x ，则表面积S ＝2x 2＋x V （x>0），S′＝2x（x 3－4V ），令S′＝0，得x ，当x 时，表面积最小.考点：表面积最小问题. 3．C【解析】依题意得，y′＝－3x 2＋27＝－3（x －3）（x ＋3），当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大． 考点：利润最大问题. 4．C【解析】设圆柱的高为x cm ，底面半径为r cm ，则62πxr -=， 圆柱的体积πV =⋅2612π4πx x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭（x 3－12x 2＋36x ）（0<x<6）， V′＝34π（x －2）（x －6），当x ＝2时，V 取极大值，也是最大值． 此时底面周长为4 cm ，底面周长∶高＝4∶2＝2∶1. 考点：体积最大问题. 5．A【解析】设圆锥的高为h cm ，则底面半径r =，所以底面面积为()22ππ400S r h ==-，则圆锥的体积()311π40033V Sh h h ==-，∴V '=()21π40033h -，令0V '=，则24003h =，∴3h =，当200,3h ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '>，当203h ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<，则当h =V 取得最大值，故选A. 考点：体积最大问题.6．C【解析】2333682y t t '=--+，令y′＝0，即3t 2＋12t －36×8＝0，解得t ＝8或t ＝－12（舍去）．当0<t<8时，y′>0；当t>8时，y′<0.所以当t ＝8时，函数有极大值，也是最大值．考点：导数的实际应用. 7．C【解析】三棱锥的体积()()2222331230332333x x x x y x x V y x --=⨯⋅===<<，()2263223x x V x x x x -'==-=-．令V′＝0，得x ＝2或x ＝0（舍去）．∴x＝2时，V 最大，为43. 考点：体积最大问题. 8．D【解析】设总利润为P （x ）元，则()330020000,0390,9009009010020000,390,x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-->⎩则()2300,0390,300100,390,x x P x x ⎧-+≤≤⎪'=⎨⎪->⎩令P′（x ）＝0，得x ＝300，当x ＝300时，P （x ）取极大值，也是最大值，故选D. 考点：利润最大问题. 9【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，则2222x x h d ++=，∴2222h d x =-.∵2V x h =，∴()2424222V x h x d x ==-2462d x x =-，∴()2235412Vdx x '=-，由()20V '=得223d x =，∴3x =，此时V 有最大值，此时h===.考点：体积最大问题.10【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为()2,2(0x x x-<<，则()232242S x x x x=⋅-=-，∴246S x'=-，令0S'=，得x=，当x=时，maxS=.考点：面积最大问题.11．4【解析】正三棱柱的底面积为221224a a⨯=234a=，表面积S＝2a2＋a（a>0）a－2a，令S′＝0，得a＝4.则当4a=时，表面积最小.考点：表面积最小问题.12【解析】设水池的底面半径为r，底面单位面积造价为a，总造价为y，∵高2πVhr=，∴22π2π2πVy r a r ar=⋅+⋅⋅24πaVr ar=⋅+，242πaVy arr'=-，令0y'=，得r=可知当r=y取得最小值，此时h=.时，总造价最低.考点：导数的实际应用.13．当腰长为34p，底边长为2p时，旋转体的体积最大【解析】如图，设AB AC x==，则底边长为22(0)p x x p-<<，绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组合体，圆锥的高BD p x =-，底面半径AD ===，则圆锥体的体积为()()221ππ233AD BD px p p x ⋅=--，所求几何体的体积为()()()2π223V x px p p x =⨯--()222π233p x px p =-+-，∴()()2π433p V x x p '=-+.令()0V x '=，得34px =，这是定义域内的唯一的极值点，因此当腰长为34p ，底边长为2p时，旋转体的体积最大.考点：体积最大问题.14．（1）()()10sin cos sin V θθθθ=+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （2）π3θ=（3）是 【解析】（1）2cos 2sin sin cos sin 2ABCD S θθθθθ+=⋅梯形＝＋，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则()()10sin cos sin V θθθθ=+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）()()()()2102coscos 1102cos 1cos 1V θθθθθ'=+-=-+．令()0V θ'=，得1cos 2θ=，或cos 1θ=-（舍）．∵π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3θ=． 当π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 12θ<<，()0V θ'>，()V θ为增函数； 当ππ,32θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，10cos 2θ<<，()0V θ'<，()V θ为减函数．∴当π3θ=时，体积V 最大． （3）是，理由如下：木梁的侧面积()21020cos 2sin12S AB BC CD θθ⎛⎫=++⋅=++ ⎪⎝⎭侧，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．()=22sin cos sin 20cos 2sin 12ABCD S S S θθθθθ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭侧梯形，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．设()cos 2sin 12g θθθ=++，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22sin 2sin 222g θθθ=-++， ∴当1sin22θ=，即π3θ=时，()g θ最大．又由（2）知π3θ=时，sin cos sin θθθ+取得最大值，所以π3θ=时，木梁的表面积S 最大．综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．考点：函数解析式，用导数求最值，四棱柱的表面积及其最值.。