返回首页
下一页
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高为(
)
20 3 A. 3 cm C.20 cm
B.100 cm 20 D. 3 cm
上一页
返回首页
下一页
【解析】
设圆锥的高为 h cm，
1 则 V＝3π(400－h2)×h， 1 所以 V′(h)＝3π(400－3h2). 400 令 V′(h)＝0，得 h ＝ 3 ，
3.4
生活中的优化问题举例
上一页
返回首页
下一页
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点) 2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能 力.(难点)
上一页
返回首页
下一页
[基础· 初探]
教材整理 优化问题
阅读教材 P101 第一自然段，完成下列问题. 1.优化问题 (1)生活中经常会遇到求________ ________等问题，这些问题 利润最大、________ 用料最省、效率最高 通常称为优化问题. (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值 ____________.
上一页 返回首页 下一页
【精彩点拨】 (1)利用题中等量关系列出 y 与 x 的函数关系式，将 x＝100 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0； (2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值.
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】
(1)由题意，每年销售 Q 万件，成本共计为(32Q＋3)万元.销
【解析】 由图象可知，②④是正确的. 【答案】 B
上一页 返回首页 下一页
[小组合作型]
面积、体积最值问题
用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四 个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90° 角，再焊接而成 (如图 342).问 该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
图 342
上一页 返回首页 下一页
【精彩点拨】 设自变量高为x ―→ 根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数 ―→ 利用导数求出容积的最大值 ―→ 结论
【自主解答】
设容器的高为 x cm，容器的容积为 V(x)cm3，则：
V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24). 所以 V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36).
上一页 返回首页 下一页
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利 用导数求解相应函数的最小值.根据 f′x＝0 求出极值点注意根据实际意义舍去 不合适的极值点后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是 所求函数的最小值.
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 2.甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关 1 1 3 4 系是 P＝19 200v －160v ＋15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的 最小值.
利润最大(成本最低)问题
探究 关于利润问题常用的等量关系有哪些？
【提示】 关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数.
上一页
返回首页
下一页
某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年 3x＋1 内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q＝ (x≥0)， x ＋1 已知生产此产品的年固定投入为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元. 若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和，则 (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数.如果年广告费投入 100 万元，那么企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
[再练一题] 3.某工厂生产某种产品， 已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元 1 / 吨 ) 之间的关系式为 p ＝ 24 200 － x2 ，且生产 x 吨产品的成本为 R ＝ 50 000 ＋ 5 200x( 元). 问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多 少？(利润＝收入－成本)
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上， 另两个顶点位于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴 上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
【解】 设矩形边长 AD
＝2x(0<x<2)， 则|AB|＝y＝4－x2， 则矩形面积为 S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)， ∴S′＝8－6x2，令 S′＝0， 2 3 2 3 解得 x1＝ 3 ，x2＝－ 3 (舍去).
下一页
v2 (2)Q′＝16－5v， 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80， 当 0＜v＜80 时，Q′＜0； 当 80＜v≤100 时，Q′＞0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且 Qmin＝Q(80) 2 000 ＝ 3 (元).
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型]
合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
【精彩点拨】 用之和.
先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】
设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为
128×104 1 280 1 000x ＝ x 元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)＝
售收入是(32Q＋3)· 150%＋x· 50%， ∴年利润 y＝年收入－年成本－年广告费 1 ＝2(32Q＋3－x)
3x＋1 1 ＋3－x ＝232× x＋1
－x2＋98x＋35 ＝ (x≥0)， 2x＋1 －x2＋98x＋35 ∴所求的函数关系式为：y＝ (x≥0).因为当 x＝100 时，y<0， 2x＋1 所以当年广告费投入 100 万元时，企业亏损.
上一页 返回首页 下一页
－x2＋98x＋35 (2)由 y＝f(x)＝ (x≥0)，得 2x＋1 －x2－2x＋63 f′(x)＝ (x≥0). 2 2x＋1 令 f′(x)＝0，则 x2＋2x－63＝0. ∴x＝－9(舍去)或 x＝7. 又∵当 x∈(0,7)时，f′(x)>0； 当 x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)极大值＝f(7)＝42. 又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42. 故当年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大.
2
20 3 所以 h＝ 3 .故选 A.
【答案】 A
上一页 返回首页 下一页
2.某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产总 成本 y2(万元)也是 x 的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( A.9 千台 B.8 千台 )
C.6 千台 D.3 千台 【解析】 利润函数 y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导得 y′＝36x－6x2，令 y′
上一页 返回首页 下一页
1.利润最大问题是生活中常见的一类问题， 一般根据“利润＝收入－成本” 或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值. 2.解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售 量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误.
上一页
返回首页
下一页
上一页
返回首页
下一页
1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题 意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值. 2.实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成 本价、销售量大于零等.
上一页
返回首页
下一页
因为 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f′(x)＝0， 故它就是最大值点，且最大值为 1 f(200)＝－5×2003＋24 000×200－50 000 ＝3 150 000(元). 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上一页
上一页
返回首页
下一页
【解析】
设其中一段长为 x，则另一段长为 16－x，设两正方形的面积分
别为 S1，S2，面积之和为 S，则
2 x 2 16－x S＝S1＋S2＝4 ＋ 4
＝0，得 x＝6 或 x＝0(舍去). 因 0<x<6 时，y＝18x2－2x3 递增， x>6 时，y＝18x2－2x3 递减， ∴x＝6 时利润最大，故选 C. 【答案】 C
上一页 返回首页 下一页
3.把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最 小值为________.
上一页
返回首页
下一页
【解】
f(x)＝24
每月生产 x 吨时的利润为 1 2 200－5x x－(50 000＋200x)
1 3 ＝－5x ＋24 000x－50 000(x≥0). 3 2 由 f′(x)＝－5x ＋24 000＝0， 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去).