圆锥曲线的概念及性质第二讲 圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.答案：C2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ ba ＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ()A．4 3 B．8 C．8 3 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－3(x－2)，当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)．当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,43)，∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴．又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°，又由抛物线定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴F A ＝8，∴P A ＝8.故选B. 答案：B5．高8 m 和4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m ，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：如图1，假设AB 、CD 分别为高4 m 、8 m 的旗杆，P 点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BP A ＝∠DPC ，则Rt △ABP ∽Rt △CDP ，BA P A ＝DCPC ，从而PC ＝2P A .在平面APC 上，以AC 为x 轴，AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图2)，则A (－5,0)，C (5,0)，设P (x ，y )，得(x －5)2＋y 2＝2(x ＋5)2＋y 2化简得x 2＋y 2＋503x ＋25＝0，显然，P 点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2⇒e 2<12，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在 抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c ＝4，ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)3x ±y ＝0即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a ，整理得a 2＝3c 2，即e 2＝13，解得e ＝33.答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝235， ∴b 2＝103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1. 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2， 则|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线， 都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0， Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2， ④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．12．(2009·陕西，21)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两 条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围． 解：解法一：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255， ∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0.由AP →＝λPB →＝λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝(1＋λ)24λ，设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2， ∴tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1.记S (λ)＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则S ′(λ)＝12⎝⎛⎭⎫1－1λ2. 由S ′(λ)＝0得λ＝1，又S (1)＝2， S ⎝⎛⎭⎫13＝83，S (2)＝94， ∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2，当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，83. 解法二：(1)同解法一．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知|k |<2，m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 2－k ，2m2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝－2x ，得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋k ，2m 2＋k .由AP →=λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k －λ2＋k ，2m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k ＋λ2＋k ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1得4m 24－k 2＝(1＋λ)2λ.设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为(0，m )．S △AOB ＝S △AOQ ＋S △BOQ ＝12|OQ |·|x A |＋12|OQ |·|x B |＝12m ·(x A －x B )＝12m ⎝⎛⎭⎫m 2－k ＋m 2＋k ＝12·4m 24－k 2＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1. 以下同解法一．。