说 明 (2)双曲线的焦点位置由x2与y2的系数的正负确定, 焦点
在系数为正的项所对应的坐标轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
抛物线的定义:
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做 抛物线的准线.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M , 动点M到直线l的距离为d ,则
椭圆.双曲线.抛物线
的图像及几何性质
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
椭圆的定义:
平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的 点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,则
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
正半轴上,一次项系数为负, 焦点在负半轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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思考:在椭圆的定义中,如果这个常数小于或等于F1F2,动点M
的轨迹又如何呢?
若2a F1F2 ,则点M的轨迹是线段F1F2 . 若2a F1F2 ,则符合条件的点M不存在,即点M的轨迹不存在.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
y
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
y
y
y
y
. O F x
.
F
O
xl
F.
O
l
x
FO 2
l
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
开口方向
向右
向左
向上
向下
(1)方程中: p为焦点到准线的距离,简称焦准距 . 说 明 (2)焦点在一次项对应的坐标轴上;一次项系数为正, 焦点在
思考:在双曲线的定义中,如果这个常数大于或等于F1F2,动点
M的轨迹又如何呢?
若2a F1F2 ,则点M的轨迹是以F1, F2为端点沿x轴向外的两条射线. 若2a F1F2 ,则符合条件的点M不存在,即点M的轨迹不存在.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F1(c,0), F2 (c,0) x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
F1(0,c), F2 (0, c) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
(1)三个参数a, b, c中, a最大, 且b2 a2 c2;
说 明 (2)椭圆的焦点位置由x2与y2的分母的大小确定, 焦点在
分母大的项所对应的坐标轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
双曲线的定义:
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦 点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,则
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F1(c,0), F2 (c,0) x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
F1(0,c), F2 (0, c) y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
(1)三个参数a, b, c中, c最大, 且b2 c2 a2;
MF d
特注 :
1.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 2.我们可以用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么曲线.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念 抛物线的标准方程
标准方程 图形
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)