第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的概念【课程标准】1.了解指数函数的概念2.区分两类指数函数，了解不同点。

3.掌握指数函数的性质【知识要点归纳】1.指数函数的定义一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.2.指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：R 判断一个函数是指数函数的方法(1)形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)[跟踪训练] 1 （1）函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.（2）若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )A.(2)xB.2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫22x()()()()()()()2123231=________.x x f x a a a f x a a a f =-=-例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则例3.已知指数函数的图像过点（2,81），求这个函数的解析式指数函数图象问题(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.例2 (1) 函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.[跟踪训练] 2 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A.(－1,5)B.(－1,4)C.(0,4)D.(4,0) (2)函数y ＝2|x |的图象是( )【当堂检测】一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = ．当堂检测答案一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a【分析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的取值范围． 【解答】解：函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则210211a a ->⎧⎨-≠⎩，解得12a >且1a ≠；所以a 的取值范围是1{|2a a >且1}a ≠． 故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题． 2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴【分析】根据1()2()()2x x f x g x --===，即可得到结论．【解答】解：1()2()()2x x f x g x --===，∴函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于y 轴对称，故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【分析】令0x m +=求出x 的值和此时y 的值，从而求出函数的图象恒过定点坐标，即可求出m 的值．【解答】解：令0x m +=得：x m =-，此时012y a =+=， 所以函数的图象恒过定点(,2)m -， 即点(,2)P m -，所以1m -=-，即1m =， 故选：C ．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令指数整体为0是本题的解题关键，是基础题．4．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断a 、b 、c 的大小关系． 【解答】解：函数0.3x y =在R 上是减函数，0.60.5>， 0.50.60.30.3∴>，即b a >．又函数0.5y x ==(0,)+∞上是增函数，0.40.3>，0.50.50.40.3∴>，即c b >．综上，可得c b a >>， 故选：D ．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A 不是指数函数． 【解答】解：指数函数是形如(0x y a a =>且1)a ≠的函数，对于1:222x x A y +==⨯，系数不是1，所以不是指数函数； 对于1:3()3x x B y -==，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于:4x C y =，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于3:28x x D y ==，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 故选：A ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14【分析】由x y a =的单调性，可得其在0x =和1时，取得最值，列出方程求出a 的值．【解答】解：根据题意，由x y a =的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当0x =和1时，取得最值， 即013a a +=，可得01a =， 则12a =， 即2a =， 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及其图象的特殊点问题，是基础题目． 二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 (1,5) ． 【分析】令10x -=求出x 的值和此时y 的值，从而求出点P 的坐标． 【解答】解：令10x -=得：1x =，此时032325y a =+=+=，∴函数()f x 的图象恒过定点(1,5)，即点(1,5)P ， 故答案为：(1,5)．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a 的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】令幂指数等于0，求得x 、y 的值，可得点A 的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．【解答】解：对于函数23(0,1)x y a a a -=+>≠，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)A ，点A 在幂函数()y f x =的图象上，∴设()f x x α=，则有42α=，2α∴=，则2()f x x =， 故答案为：2x ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．。