中考数学模拟测试题（有答案）一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1．下列实数中，最小的数是（ ） A ．13-B ．12-C ．﹣1D ．2-2．下面运算正确的是（ ） A ．325a b ab +=B ．235325x x x +=C ．22330a b ba -=D ．22321y y -=3．用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是（ ） A ．B ．C ．D ．4．如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置， 测得125∠=︒，则2∠的度数为（ ） A ．15︒ B ．35︒C ．45︒D ．65︒ 4题图5．国家出台全面二孩政策，自2016年1月1日起家庭生育无需审批．如果一个家庭已有一个孩子，再生一个孩子，那么两个都是女孩的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．186．如图，在平面直角坐标系中，直线1:3l y x =+与直线2:l y ax b =+交于点(1,)A c -，则关于,x y 的方程组3y x y ax b =+⎧⎨=+⎩的解为（ ） A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．12x y =⎧⎨=-⎩6题图7．若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（） A ．1,11B ．7,53C ．7,61D ．6,509．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，2AB =，4BC =，一动点P 从点B 出发，沿着B A D C ---的方向在矩形的边上运动，运动到点C 停止．点M 为图1中的某个定点，设点P 运动的路程为x ，BPM ∆的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点M 的位置可能是图1中的（ ）A ．点CB ．点EC ．点 FD ．点G10．如图，正方形ABCD 边长为2，BM 、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点P 、Q 分别是平分线BM 、DN 上的点，且满足︒=∠45PAQ ，连接PQ 、PC 、CQ ．则下列结论：①6.3=⋅DQ BP ；②APB QAD ∠=∠；③︒=∠135PCQ ；④222PQ DQ BP =+，其中正确的有（ ）． 10题图 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18 题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．11．2021年1月中旬出现疫情反复后，北京市立即启动了全市核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过平台累计采样超过2280000人，数据2280000用科学计数法可以表示为__________．12．分解因式：32244-+-=y xy x y ______ ．13．教育部规定，初中生每天的睡眠时间应为9个小时，皓皓记录了他一周的睡眠时间，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则皓皓这一周的睡眠够9个小时的有___________天．13题图14．已知()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y ______2y （填入“＜”或“＞”）． 15．已知分式方程5133x mx x+=--有增根，则m 的值为_____． 16．如图，直线y ＝kx ＋1经过点A (－2，0)交y 轴于点B ，以线段AB 为一边，向上作等腰Rt ΔABC ，将ΔABC 向右平移，当点C 落在直线y ＝kx ＋1上的点F 处时，则平移的距离是_________．16题图 17题图17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，将ΔABC 绕点C 旋转，得到ΔA ，B ，C ，，点A 的对应点为A '，P 为A B ''的中点，连接BP ．在旋转的过程中，线段BP 长度的最大值为__________． 18．如图，已知点A 1、A 2、A 3、…、A n 在x 轴上，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1，分别过点A 1、A 2、A 3、……、A n 作x 轴的垂线，交反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象于点B 1、B 2、B 3、…、B n ，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2，…，若记⊥B 1P 1B 2的面积为S 1，⊥B 2P 2B 3的面积为S 2，…，⊥B n P n B n +1的面积为S n ，则S 1+S 2+…+S 2020＝_____．18题图三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.（7分）（1）计算：()121cos 603sin 60tan 302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222222x xy y x y x yy x x xy ⎛⎫+++÷ ⎪---⎝⎭，其中x ，y 满足()2210x y ++-=．20．（8分）如图所示，在⊥ABC 中，AB ＝CB ，以BC 边为直径的⊥O 交AC 于点E ．点D 在BA 的延长线上，且⊥ACD ＝12∠ABC ． （1）求证：CD 是⊥O 的切线；（2）若⊥ACB ＝60°，BC ＝12，连接OE ， 求劣弧⋂BE 所对扇形BOE 的面积（结果保留π）．21．（8分）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的（10m<AC<20m ），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为∠CAE(90º<∠CAE <150)，转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．∠为120︒时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；（1）当起重臂AC长度为12m，张角CAE（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参≈）1.73222．（8分）我国在2020年11月1日启动第七次人口普查．为了调查学生对人口普查知识的了解程度，湖州市某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．（1）本次抽样调查的人数是______人；（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数约为多少？（3）根据调查结果，学校准备开展关于人口普查知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．23．（8分）2020年12月7日，成都市郫都区新增1例本土新冠肺炎确诊病例，让全体市民再次加强了疫情防范意识．某单位准备用3000元购买医用口罩和洗手液发放给全体职工，若医用口罩购买500个，洗手液购买100瓶，则剩余200元；若医用口罩购买800个，洗手液购买80瓶，则还差40元． （1）求医用口罩和洗手液的单价；（2）根据疫情防控实际需要，单位决定购买医用口罩500个，洗手液和酒精消毒喷雾共90瓶，若需购买洗手液的瓶数最多为75瓶且购买酒精消毒喷雾的瓶数不超过洗手液瓶数的14，酒精消毒喷雾每瓶的单价是32元，请你设计一种购买方案，要求所花的费用最少，并求出最少费用．24．（10分）如图，抛物线212y ax ax a =--经过点()0,4C，与x 轴交于A ，B 两点，连接AC ，BC ，M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）直接写出a 的值以及A ，B 的坐标⊥a =______，A __________，B _________；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ，设M 点的坐标为(),0M m ，试求PQ +的最大值；（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）（问题提出）如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．（尝试解决）（1）将APC △绕点A 逆时针旋转60°，得到AP B '△，连接PP '，则ΔA PP ，为等边三角形．3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==， 222P P PB P B ''∴+=ΔBPP ，为______三角形APB ∴∠的度数为______．（类比探究）（2）如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若30BPA ∠=︒，求证222PA PB PC +=． （联想拓展）（3）如图3，在ΔABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．点P 在直线BC 上方且45APB ∠=︒，PC BC ==PA 的长．参考答案1．D 【详解】解： 1133-= ，1122-= ，|﹣1|＝1， 1.414=≈，又11132<<<，∴11132->->->∴最小的数是故选：D ． 2．C 【详解】解：A ．2a 与3b 不是同类项，不能合并，故此选项错误； B ．23x 和32x 不是同类项，不能合并，故此选项错误； C ．22330a b ba -=，正确； D ．22232y y y -=，故此选项错误． 故选：C ． 3．C 【详解】解：根据计算器的知识可知答案为C ，故选C ． 4．D 【详解】解：如图，先标注字母， 1=2590CAB ∠︒∠=︒，，,652590︒=︒-︒=∠∴EAB由题意得：//AE FG ，.652︒=∠=∠∴EAB故选D ． 5．C 【详解】解：根据题意画树状图得：共有4种等可能的结果，两个都是女孩的情况有一种，∴两个都是女孩的概率是14故选：C ． 6．A 【详解】解： 直线1:3l y x =+与直线2:l y ax b =+交于点(1,)A c -，∴当1x =-时，132c =-+=， ∴点A 的坐标为()1,2-， ∴关于x 、y 的方程组3y x y ax b =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩，故选：A ． 7．B【详解】 解：扇形的弧长＝208161π⨯＝4π，∴圆锥的底面圆的周长＝4π， ∴圆锥的底面圆半径＝42ππ＝2， 故选：B ． 8．B 【详解】解设人数x 人，物价y 钱.8374x yx y -=⎧⎨+=⎩解得：753x y =⎧⎨=⎩故选B. 9．D 【详解】解：⊥AB=2，BC=4，四边形ABCD 是矩形，∴当x=6时，点P 到达D 点，此时⊥BPM 的面积为0，说明点M 一定在BD 上， ∴从选项中可得只有G 点符合，所以点M 的位置可能是图1中的点G ．故选：D ． 10．C 【详解】BM 、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点P 、Q 分别是平分线BM 、DN 上的点∴45PBC CDQ ∠=∠=正方形ABCD∴90ABC ADC ∠=∠=∴135ABP ABC PBC ∠=∠+∠= ,135ADQ ADC CDQ ∠=∠+∠=∴135ABP ADQ ∠=∠=∴18045BAP APB ABP ∠+∠=-∠=45PAQ ∠=∴904545BAP QAD BAD PAQ ∠+∠=∠-∠=-=∴APB QAD ∠=∠，故②正确；∴ABP QDA △∽△ ∴AB BP DQ AD= 正方形ABCD 边长为2∴2AB AD BC CD ====∴4BP DQ AB AD ⨯=⨯=，故①错误；又 AB BP DQ AD= ∴CD BP DQ BC= 即CD DQ BP BC= 45PBC CDQ ∠=∠=∴PBC CDQ △∽△∴BCP DQC ∠=∠∴36036090PCQ BCP BCD DCQ DQC DCQ ∠=-∠-∠-∠=--∠-∠+18018045135DQC DCQ CDQ ∠∠=-∠=-=∴135PCQ ∠=，故③正确；如图，将AQD 绕点A 顺时针旋转90 ，得ABG ，连接GP ，AB 和GP 相交于点H∴ADQ ABG △≌△∴GAB QAD ∠=∠，AG AQ =，BG DQ =，AGB AQD ∠=∠∴45GAP GAB BAP QAD BAP BAD PAQ ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∴45GAP PAQ ∠=∠=AP AP =∴AGP AQP △≌△∴GP PQ =45PBC ∠=，18090HBC ABC ∠=-∠=∴45HBP HBC PBC ∠=∠-∠=∴4545GBP GBH HBP AGB GAB AQD QAD ∠=∠+∠=∠+∠+=∠+∠+180********AQD QAD ADQ ∠+∠=-∠=-=∴90GBP ∠=∴Rt GBP △∴222BG BP GP +=∴222BP DQ PQ +=，故④正确；二、填空题答案11．62.2810⨯ 12．()22--y y x 13．2 14．＜15．-0.6 16．5 17．11 18.20192020． 解析：11．62.2810⨯【详解】解：2280000用科学记数法可以表示为62.2810⨯，故答案为：62.2810⨯．12．()22--y y x【详解】 32244y xy x y -+-()2244y y xy x =--+2(2)y y x =--．故答案为：()22--y y x ．13．2【详解】由折线图可知睡眠够9小时的只有周五，周六两天．故答案是：2．14．＜【详解】抛物线的对称轴为直线x ＝−22＝−1， 当x ＞−1时，y 随x 的增大而增大，因为0＜x 1＜x 2，所以y 1＜y 2，故答案为：＜．【详解】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6．故答案为：-0.6．16．5【详解】解：把A（-2，0）代入y=kx+1得-2k+1=0，解得k=12，则直线AB的解析式为y=12x+1，当x=0时，y=12x=1=1，则B点坐标为（0，1），如图，作CH⊥x轴于H⊥ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB，⊥BAC=90°，∴⊥BAO+⊥CAH=90°，而⊥BAO+⊥ABO=90°，∴⊥ABO=⊥CAH，在⊥ABO和⊥CAH中，AOB CHAABO CAHAB CA∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴⊥ABO⊥⊥CAH，∴OB =AH =1，OA =CH =2，∴OH =OA +AH =3，∴C 点坐标为（-3，2），⊥ABC 向右平移，∴F 的纵坐标与C 点的纵坐标相等，把y =2代入y =12x +1得12x +1=2， 解得x =2， ∴F 点的坐标为（2，2），∴点C 向右平移了2-（-3）=5个单位．故答案为5．17．11【详解】90C ∠=︒，8AC =，6BC =，∴10= ，由旋转得A B ''=AB=10，⊥A B ''中点为P ， ∴12PC PA A B '''===5， 连接CP ，当ΔABC 旋转到点B 、C 、P 三点共线时，BP 最长，∴BP=CB+PC=6+5=11，故答案为: 1118．20212020． 【详解】 解：根据题意可知：点B 1（1，2）、B 2（2，1）、B 3（3，23）、…、B n （n ，2n ），∴B 1P 1＝2﹣1＝1，B 2P 2＝1﹣2133=，B 3P 3＝211326-=，…，B n P n ＝2221(1)n n n n -=++， ∴S n ＝12A n A n +1•B n P n ＝1n(n 1)+， ∴S 1+S 2+…+S 2020＝1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ ＝202112020141313121211-++-+-+- ＝1﹣20211 ＝20212020． 故答案为：20212020． 三、解答题19．（1）124（2）．x y ， 【详解】 解：原式2121223⎛⎫=-+-⨯ ⎪⎝⎭， =112142-+-， =124． …………3分 【详解】解：原式=()()()()22x y x x y x x y x y x y y ⎡⎤+--⨯⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦ =()2x x y y x y y -⨯- =x y； …………5分 ()2210x y ++-=，∴2x =-，1y =， …………6分将2x =-，1y =代入x y，得： 原式=221-=-． …………7分 21．（1）见解析；（2）12π【详解】（1）证明：连接BE ，BC 是⊥O 的直径，∴∠BEC ＝90°，∴BE⊥AC ，又 AB ＝CB ，∴∠ABE ＝⊥CBE ＝12⊥ABC ，……2分 ∠ACD ＝12⊥ABC ，∴∠ACD ＝⊥CBE ，又 ∠BCE+∠CBE ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，点C 在⊥O 上，∴CD 是⊥O 的切线．……4分 （2）解：⊥∠ACB ＝60°，∴∠BOE ＝120°，……6分 BC ＝12，∴⊥O 的半径是6，⊥S 扇形BOE ＝21206360π⨯⨯＝12π．……8分22．（1）9.5m；（2）可以有效救援．【详解】（1）如图1，过点C作C⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，……1分AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，……2分∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，AC=12，∴CG=ACsin30°=12×1=6，2∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；……4分（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，AC=20，∴，……6分∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；……7分∴能有效救援．……8分23．（1）400；（2）300人；（3）不公平，理由见解析【详解】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140=400（人）， ……2分故答案为：400；（2）这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数有：2000×60400=300（人）；……4分 （3）画树状图得： ……6分共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况， ∴P （颜色相同）=41123=，P （颜色不同）=82123=， ……7分 ∴游戏规则不公平． ……8分24．（1）医用口罩2元/个，洗手液18元/瓶；（2）购买75瓶洗手液，15瓶酒精消毒喷雾，所花费用最少为2830元．【详解】（1）设医用口罩x 元/个，洗手液y 元/瓶，由题意得：500100300020080080300040x y x y +=-⎧⎨+=+⎩ ……2分解之得：218x y =⎧⎨=⎩答：医用口罩2元/个，洗手液18元/瓶； ……3分（2）设购买洗手液m 瓶，则购买酒精消毒喷雾(90)m -瓶，所需费用为W 元，由题意得： m 41m -90≤ 解之得： 72≥m又 75≤m∴.7572为整数，且m m ≤≤ …… 5分1832(90)2500W m m =+-+⨯182880321000m m =+-+143880m =-+ …… 6分140k =-<，∴W 随m 的增大而减小又 .7572为整数，且m m ≤≤ …… 7分∴当75m =时，9015m -=147538802830W =-⨯+=最小值答：购买75瓶洗手液，15瓶酒精消毒喷雾，所花费用最少为2830元． …… 8分25．（1）13-，(3-，0)，(4，0)；（2）当m 2=时，PQ +的最大值是83；（3）存在，点Q 的坐标为(1，3)或(2，82-) 【详解】解：（1） 抛物线212y ax ax a =--经过点C(0，4)， ∴124a -=，解得13a =-，∴抛物线的解析式为211433y x x =-++， 令0y =，得2114033x x -++=，解得1234x x =-=，，∴点A ，B 的坐标分别为(3-，0)，(4，0)， 故答案为：13-，(3-，0)，(4，0)； …… 3分 （2） B (4，0)，C(0，4)， ∴OB=OC=4，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，PM x ⊥轴，OC x ⊥轴，∴PM//OC ，∴45PQN OCB ∠=∠=︒．又 90PNQ ∠=︒， ∴PQ =，∴2PQ PQ PQ PQ +=+=，M (m ，0)，则P(m ，211433m m -++)， 设直线BC 的解析式为4y kx =+，∴440k +=，解得1k =-， ……5分 ∴直线BC 的解析式为4y x =-+，∴点Q 的坐标为(m ，4m -+)，∴PQ=()221114443333P Q y y m m m m m -=-++--+=-+，∴PQ+2PN=2PQ=()22282823333m m m -+=--+， 203-<， ∴当2m =时，PQ+2PN 的最大值为83； ……7分 （3）存在，理由如下：A(3-，0)，C(0，4)，Q(m ，4m -+) (04m <<)，∴2223425AC =+=，()()22234AQ m m =++-+，()2222442CQ m m m =+-+-=，①当AC=CQ 时，22AC CQ =，∴2225m =，解得：1222m m ==-(舍去)； ②当AC=AQ 时，22AC AQ =，∴()()223425m m ++-+=，解得：1210m m ==，(舍去)； ③当CQ=AQ 时，22CQ AQ =， ∴()()222342m m m ++-+=， 解得：2542m =>(舍去)；综上所述，点Q 的坐标为(1，3)或)． ……10分26．（1）直角；150°；（2）见详解；（3）PA =【详解】解：（1）将APC △绕点A 逆时针旋转60°，得到AP B '△，连接PP '， 则ΔP AP '为等边三角形．⊥60APP '∠=︒，3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，222P P PB P B ''∴+=∴ΔP BP '为直角三角形，∴90BPP '∠=︒,APB ∴∠的度数为：9060150︒+︒=︒．故答案为：直角；150°． ……3分（2）将⊥APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到如图所示A CP ''∆，再连接PP '，⊥ABC 是等边三角形，则点A '与点B 重合，由旋转的性质，则CP CP '=，60PCP '∠=︒，13∠=∠ ∴PCP '∆是等边三角形，则PP CP '=， ……5分 ∴6060120CPP CP P ''∠+∠=︒+︒=︒，13∠=∠，1230APB ∠+∠=∠=︒，∴2330∠+∠=︒，∴451203090∠+∠=︒-︒=︒，∴90PBP '∠=︒，∴PBP '∆是直角三角形， ……7分 ∴222PP PB BP ''=+，PA P B '=，PP CP '=，∴222PA PB PC +=． ……8分（3）将⊥PAB 绕点A 顺时针旋转90°，得到如图所示P AB ''∆，AB=AC ，⊥BAC=90°，则点B '与点C 重合，由旋转的性质，得AP AP '=，CP PB '⊥，90P AP '∠=︒， ∴APP ∆'是等腰直角三角形， ……9分 ∴PC BC =，45APP APB '∠=∠=︒，则点P 、P '、B 三点共线，PC BC ==CP PB '⊥，∴点P '是PB 的中点， ……10分 设2CP BP x '==，则12PP BP BP x ''===， 由勾股定理，得=∴2x =，……11分 ∴2PP BP ''==，APP ∆'是等腰直角三角形，∴PA P A '==……12分。