2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

共有55A +14C 44A 924216=⨯=种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D【解析1】(4,22)c m m =++因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅，所以||||||||c a c bc a c b ⋅⋅=⋅⋅，又||2||b a =所以2c a c b ⋅=⋅即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒= 【解析2】由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =故2m =8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠⋃∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π=所以sin α的取值范围是 9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥。

其中的所有正确命题的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 【答案】B【解析】()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-故①正确1()ln(1)ln(1)ln1xf x x x x+=+--=-⇒2222212111()lnln()2ln 2()211111x x x x x f f x x x x x x ++++====+---+当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥⇔-≥令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---（[0,1)x ∈）因为22112()20111x g x x x x '=+-=>+--，所以()g x 在[0,1)单增，()()2(0)0g x f x x g =-≥=即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立故③正确 10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 A ．2 B ．3 CD【答案】B 【解析】 方法1：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，直线AB 与x 轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =于是12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥= 当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=” 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3 方法2：二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数221ii-=+ 。

【答案】2i -【解析】22222(1)(1)21(1)(1)i i i i i i i --==-=-++- 12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

【答案】1【解析】2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m 。

（用四舍五入法将结果精确到个位。

B C参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，1.73≈）【答案】60【解析】92AC =，9292sin sin 370.6060sin sin 670.92AC BC A B =⋅=⋅=⨯=14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 。

【答案】5 【解析】 方法1：(0,0)A ，(1,3)B ，因为PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==故22||||||||52PA PB PA PB +⋅≤=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”）方法2：15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有 。

（写出所有真命题的序号） 【答案】①③④三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。

（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+⇒2234312k k x ππππ-≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间为22[,]34312k k ππππ-+（k Z ∈） （2）由4()cos()cos 2354f απαα=+⇒4sin()cos()cos 2454ππααα+=+ 因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++所以28sin()cos ()sin()4544πππααα+=++ 又α是第二象限角，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= ①由3sin()022444k k πππααππαπ+=⇒+=+⇒=+（k Z ∈）所以33cos sin cos sin 44ππαα-=-=②由25cos ()cos()sin )484ππαααα+=⇒+=⇒-=所以cos sin αα-=综上，cos sin αα-=或cos sin αα-=17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：（1）X 可能取值有200-，10，20，1000033111(200)()(1)228P X C =-=-=，1123113(10)()(1)228P X C ==-=，2213113(20)()(1)228P X C ==-=，3303111(100)()(1)228P X C ==-=故分布列为（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p =++= 则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111()(1)88512p C =--=（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是133110()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。