CD 12，ACD的面积为30 3，求AB的长
A
解：如图，作AE CB于点E
SACD
1 CD 2
AE
30
3,又CD 12
14 5 3
AE 5 3
B 6 D 11 E C
12 在RtADE中，AD 14，
ED AD2 AE2 142 (5 3)2 11
BE ED BD 11 6 17 在RtABE中，AB AE2 EB2 (5 3)2 172 2 91
∴AC=2AD= 2 2
2014.12
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏
西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
察站A相距102 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
B
10
45°
∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180 海里，
∴MD=AM•cos45°=90 2（海里），
D
答：渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M
B
之间的最小距离是 90 2海里。
2014.12
中考链接
2.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45°方向、距
离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，
B
C 2
60°
1
A
D
2014.12
tan A BE tan E CD
B
AB
DE
C
2
BE 2 3 DE 3
60°
1
A
D
E
S四边形ABCD SABE SCDE
1 2 2 3 1 1 3
2
2
3 3 2
2014.12
补充习题
2.如图，在RtABC中，C 90，AC 6，A的平分 线AD 4 3，求AB，BC的长
∴梯子与地面所在的角大约是 66°
由 α 要满足 50°≤a≤75°可知，这时梯子是安全的。
2014.12
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
52
∴ ∠B=45°
∵sinB = CD
D
∴CD=
CB
BC·sinB=10×sin45°=
10×
2 2
=5
2
∵在Rt△DAC中，
sin ∠DAC= CD 5 2 1 AC 10 2 2
C
10 2
北
F
45°
A
∴ ∠ DAC=30°
∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15°
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
中考链接
2.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45°方向、距
离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，
到达位于小岛南偏东 60°方向的 B 处．
（1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结
果用根号表示）；
A
解：（1）过点 M 作 MD⊥AB 于点 D，
2014.12
在直角△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个 三角形的其他元素吗？
例 2：在 Rt△A边分别为 a、b、c，且 b=30，∠B=25°,求这个
在三角形的其他元素。
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∠B=25°， A ∴∠A=65°
2014.12
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏
西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
察站A相距102 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E,
设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2
所对的边分别为 a、b、c，且 a= 15，b= 5，求这个
在三角形的其他元素。
A
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
做
则 c= a2+b2= 15+5=2 5
一
c
做
b
b 51 sinB= c = 2 5 = 2
∴∠B=30°, ∠A=60°
C
a
B
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元
素的过程，叫做解直角三角形。
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的 墙（精确到0.1m） （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地 面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人 是否能够安全使用这个梯子？
解：
B
α
A
C
(2)由题可知，当 AC＝2.4m，AB=6m。
∵cosA=
AC AB
=
2.4 6
=4
∴由计算器可得 α≈66°
4.（2014•扬州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，
AD⊥CD，∠BAD=60°，点 M、N 分别在 AB、AD 边上，若 AM：
MB=AN：ND=1：2，则 tan∠MCN=（ A ）
33
25
A. 13
B. 11
23 C. 9
D. 5－2
4
2 O
E
2014.12
例题欣赏
例1 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
C
解:在Rt△ABC中, ∠B=900
sin A BC AC
BC AC•sinA 2000.6 120.
解：由题可知，BE=2.7 米 在 Rt△DEB 中，∠DEB=90° ∴DE=BE•tan45°=2.7 米， 在 Rt△CEB 中，∠CEB=90° ∴CE=BE•tan30°=0.9 3米， 则 CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9 3≈1.2 米． 故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米．
2014.12
∵MD=90
2海里，∴MB=
MD cos30°
=60
6，
D
∴渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间为
B
60 6÷20=3 6=3×2.45=7.35≈7.4（小时），
答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4
小时．
2014.12
3 如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°， 求此四边形ABCD的面积。
∵sinB=
b c
,b=30∴c =
b sinB
=
30 sin25°
≈71
b
c
∵tanB=
b a
,b=30∴a =
b tanB
=
30 tan25°
≈64
C
a
B
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一 条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。
2014.12
随堂练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形 的其他几个元素（角精确到1°） （1）已知b=10， ∠B=60° （2）已知c=20， ∠A=60°
北师大版九年级数学下册
第四节 解直角三角形
B
c
a
┌
A
b
C
2014.12
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直 角外，如果再知道两个元素（其中至少有一 个是边），这个三角形就可以确定下来，这 样就可以由已知的两个元素求出其余的三个 元素．
BC AB
∴BC=AB·sinA=6×sin75°≈6×0.97≈5.8ｍ
∴使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是
5.8m
2014.12
问题解决4
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与
地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子， 问：
C D
6
A 12 4 3
cos1 6 3 1 300 43 2
B 300 B AB AC 12
sin B
2014.12
在ABC中，D为BC边上一点，BD 6，AD 14， CD 12，ACD的面积为30 3，求AB的长
解：如图，作AE CB，交CB的延长线于E，A
SACD
1 CD 2
问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的
B
墙（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地
面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人
是否能够安全使用这个梯子？
解：如图，在Rt △ABC中，∠C=90°
α
A
C
(1)由题可知，当∠A＝75°，对边BC的长度就攀上
的最高高度。
∵sinA=
b c
A
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos B
B的邻边 斜边
a c
b
c
tan A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
C
a
B
4.互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB. tanA﹒tanB=1
5.同角之间的三角函数关系: sin A
sin2A+cos2A=1. tan A