若系统所受合外力为零，则有动量守恒关系：
N P mi vi Mvc C
i 1
推论一、如果体系初始的质心速度为零，则体系内部各质点在相对运动 过程中，质心位置保持不变。 推论二、如果体系的质心具有初始速度，则在以后的运动过程中，体系 的质心速度不变。 针对质点组的动量定理和动量守恒，进行如下几点总结： 1. 只适用于惯性系。在处理非惯性系中的质点组问题时，考虑加惯性 力，并将其当成外力处理。
'2 v1'2 v2 T m1 m2 xc1 xc1
其中， xc1
m1 0 m2 ' ' 是 m1 相对质心的距离， v1 , v2 分别是 m1 和 m2 相对质心的速度， m1 m2
2 m1 0 m2v0 m1m2v0 T m1 m2 ， 联立得： （m1 m2） 。
推广多个质点组成的质点组可以得到：
质心运动定律： 质心： 质心速度： 质心加速度：
d 2 rc F Fi M 2 Mac dt i
N M mi ， rc ( mi ri ) / M
N
i 1
i
N vc ( mi vi ) / M i
解：如例 2 图所示，设质心坐标为（ X c ， Yc ） ，平板的 质量为 M ，密度为 。因为平板质量分布均匀，且圆心 在原点，由对称性知 X c 0 。对于板边缘上的每一点有，
2 2 x边 y边 R 2 。将半圆形板分割成无数个平行于 x 轴的细
条，每细条的质心为（0， yc y边 ） ，则系统的质心为：
( mi )rj '
i
mi ri '
i
M
M
M
r ri rj ' ri ' 由于， j
' 所以， rjc rjc 。
2. 质心的求法
(1) 分立质点组的质心
N v v rc = (å mi ri ) / M i= 1
在直角坐标系下可以表示为：
xc
I 外 ( M m) g t (Mv2 mv1 ) 0
对 m 应用动量定理： mg t mv1 0
联立得： I
外
( M 2m)v1 Mv2
质心动量定理
d 2 rc dvc d ( Mvc ) rc 由质心运动定律： Fi M 2 M M dt dt dt i
m x
i
i i
M
, yc
m y
i i
i
M
, zc
m z
i
i i
M
例1
A B D 三质点在某一时刻的位置坐标分别为：
3, 2, 0 、 1,1, 4 、 3, 8, 6 ，
A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由此三质点组成的体
系的质心的位置。 解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
1 1 R Yc yc dm M 0 y边 (2 x边 dy边 ) M 1 R 4R 2 2 0 y边 (2 R y边 dy边 ) 3 M
4R 即质心位置为（0， ） 。 3
质心系：
如图所示，坐标原点始终跟随质心，坐标轴不转动
例 3 质量分别为 m1 和 m2 的两个质点， 用长为
xc 0
1 3
3Mx 2M 0 MR xc ， ， 3M 3M
xc 0 xc
解得： x R 0 ，向右移动。
例7
一物体在光滑水平面上以 5 米/秒的速度沿 x 正方向运动。当它到达坐标原点时，由于
内部原因而突然分裂成五块碎片， 其中四块质量相等，而另一块的质量为其它任一碎片的三 倍。这些碎片均沿水平面继续运动，经过 2 秒后，大碎片的位置坐标为（15，-6） ，某一小 碎片的位置坐标为（4，9） ，求由另三块小碎片组成的系统的质心在此时的位置。
力对时间累计效果的运动定理。作为质点组动量定理的应用，讨论
变质量物体与附体之间的相互作用力关系式，并对火箭发射等变质
量系统进行举例分析。
质心与质心运动定律
质点组质心运动
质心的特点与求法
质心系
质点组质心与质心运动定律
d 2 r1 F1 f 21 f 31 m1 2 dt
t iz z i
t t
0z
例 5.质量为 M 的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为 m 的小物 体。当板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分 别为 v1 和 v2 。已知各接触面之间的摩擦系数均相同，求在此过程中所 加水平外力的冲量。
解：对 M 和 m 构成的系统应用质点组动量定理：

仍沿水平方向，但与原来方向成 135 角，大小为 v 50 米/秒。如果棒与球的接触时 间为 0.02 秒，求棒对球的平均打击力。
解：建立如例 4 图所示的坐标系，以球为研究对象，应用动量定理，
x 方向： Fx t m(v cos 45 ) mv0
y 方向： Fy t mv sin 45 0
' ' 分别为： v1 0 vc , v2 v0 vc
质心速度： vc
质点的动量定理 质点组动量定理 质点组运动定理与守恒定律
质心动量定理
质点组动量守恒
质心系下质点组动量
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
d (mv ) F dt
对上式积分得：
t t

t
积分得：

t t
t
( Fi )dt Mvc Mvc 0 Pc Pc 0
i
即合外力的冲量等于质心动量的增量——质心动量定理。
因此，质点组的总动量即可以表示为：
N P mi v i
i 1
P Mvc 也可以表示为：
质点组动量守恒
2. 动量守恒的条件是合外力为零。当在合外力远小于内力，且作用时间 很短的情况下，如炸药在空中爆炸、对软弹簧的碰撞、小摩擦下的碰撞问 题等，动量守恒可以近似成立。
3. 即使体系的总动量不能满足动量守恒条件，但如果某个方向上体系所 受合外力为零，或合外力远小于内力，此方向上可以用动量守恒定律。
4. 定理和定律中各物体速度必须相对同一参照系，应注意相对速度、牵 连速度和绝对速度之间的关系。
大球壳内。 它们置于一质量也为 M 的槽的底部。 槽置于光滑的水平面上。 释放后， 球最终静止于槽的底部，问此时槽移动了多远？
解：以槽、球壳和球为研究对象，虽然系统总的动量 不满足动量守恒的条件，但系统在水平方向上不受合 外力，因此水平方向动量守恒。又由于系统在水平方 向上的初始质心速度为零，因此，系统在水平方向上 质心位置不变。建立如图所示的坐标系有：
第三章 动力学和动量定理 第三部分 动量定理
一、质点组质心运动定理 二、质点组动量定理与守恒定律
三、质点组动量定理应用
知识单元与知识点小结
引入质点组的质心概念，导出质心所满足的方程，用以描述质点组 的整体运动规律。引入力的冲量和质点的动量概念，以牛顿第二定 律为基础，对力进行时间效果累计，导出质点的动量定理，进一步 推广为质点组动量定理，并在特殊条件下转化为守恒定律，以获得
t

t t
t
( F3 f13 f 23 )dt m3v3 (t t ) m3v3 (t )
其中， f 21 f12 , f13 f 31 , f 23 f 32 为质点之间的相互内力。
三式相加有：

t t
i 1
i 1
量和总动量。上式表明：质点组所受合外力的冲量等于质点组动量的 变化量---质点组的动量定理。
在直角坐标系下，质点组动量定理的分量形式可表示为：
F dt P P
t ix x i
t t
0x

t t
t
F dt P P
iy y i
0y
F dt P P
t
( F1 F2 F3 )dt m1v1 (t t ) m2v2 (t t ) m3v3 (t t ) m1v1 (t ) m2v2 (t ) m3v3 (t )
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
t t
t
N N Fi dt mi vi (t t ) mivi (t ) P P0 i 1 i 1 i 1
其中， I t
t t
N Fi dt ， P mi vi ，分别称为质点组所受合外力的冲
P mv 。 但 质 量 为 m m0 / 5. 在 相 对 论 中 ， 动 量 仍 为
dP d F (mv ) 。此时质量与速度有关，而速度是时间的函数，所以不能将 dt dt
v2 1 2 ， 仍 有 ： c
质量视为恒量。
例6
如图所示，质量为 M ，半径为 R 的球，放在一个质量相同，内半径为 2R 的
的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然
伸长状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度
v0 ，求此时绳中的张力。
解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以 m2 获得初速度的瞬时，并不绕 m1 作 圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1 ， m2 分别 应用牛顿第二定律：
d 2 r2 F2 f12 f 32 m2 2 dt d 2 r3 F3 f13 f 23 m3 2 dt
上述三式相加有：
d 2 r3 d 2 r1 d 2 r2 F1 F2 F3 m1 2 m2 2 m3 2 dt dt dt