二次函数
二次函数的定义：一般地，形如
()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的函数，叫做二次函数，x 是
自变量，c b a ,,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
开口方向：二次函数c bx ax y ++=2图像是一条抛物线，二次项系数()0≠a a 决定二次函数图像的开口方向，当0>a ，二次函数图像开口向上，当0<a ，二次函数图像开口向下。
在直角坐标
系中画出二次函数2
2
1x y =，2x y =，22x y =的图像，观察图像
可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。
规律：0>a ，a 越大，抛物线的开口越小。
在直角坐标系中画出二次函数2
2
1x y -=，2x y -=，22x y -=的
图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。
规律：0<a ，a 越小，抛物线的开口越小。
抛物线的开口大小与a 有关，a 越大，开口越小；a 越小，开口越大。
对称轴：二次函数()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数图像是轴对称图形，关于对称轴对称。
它的对称轴是a
b x 2-
= 二次函数的单调性：二次函数图像在对称轴左、右两边单调性是
相反的。
0>a ，当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，当a b
x 2-
>时，y 随x 的增大而增大。
0<a ，当a
b
x 2-<时，y 随x 的增大
而增大，当a
b
x 2-
>时，y 随x 的增大而减小。
二次函数的顶点：二次函数对称轴与二次函数图像的交点便是二
次函数的顶点。
二次函数的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22，当
0>a 时，二次函数的顶点是图像的最低点。
0<a 时，二次函数
的顶点是图像的最高点。
二次函数的最值：若二次函数的自变量是全体实数，二次函数在图像的顶点处取得最值。
当0>a 时，二次函数取得最小值
a b ac 442-，无最大值。
当0<a 时，二次函数取得最大值a
b a
c 442
-，无最小值。
若二次函数的自变量在某一区间，如21x x x ≤≤，求二次函数的
最值。
则我们要先看对称轴a
b
x 2-=是否在这个范围内。
○
1对称轴a
b
x 2-=在21x x x ≤≤范围内：当0>a 时，二次函数取得最小值a b ac 442
-，最大值是21,y y 中的较大者。
当0<a 时，二
次函数取得最大值a
b a
c 442
-，最小值是21,y y 中的较小者。
○
2对称轴a
b
x 2-=不在21x x x ≤≤范围内：最大值是21,y y 中的较
大者，最小值是21,y y 中的较小者。
二次函数的设法()0,,≠a c b a 是常数：
○1常规设法（将方程设为二次函数的一般式）：c bx ax y ++=2 ○2顶点式设法（已知二次函数的顶点坐标为()11,y x ，可将方程设
为二次函数的顶点式）：()12
1y x x a y +-=
○3交点式设法（已知二次函数与x 轴的交点横坐标分别是21,x x ）：
()()21x x x x a y --=
抛物线的平移变换：抛物线23x y =向上平移1个单位长度，得到抛物线132+=x y ；抛物线23x y =向下平移2个单位长度，得到抛物线232-=x y ；抛物线23x y =向左平移1个单位长度，得到抛物线()2
13+=x y ；抛物线23x y =向右平移2个单位长度，
得到抛物线()2
23-=x y 。
规律口诀：左加右减，上加下减。
抛物线的几何变换：
c bx ax y ++=2关于x 轴对称可得解析式：c bx ax y ---=2
()k h x a y +-=2
关于x 轴对称可得解析式：()k h x a y ---=2
c bx ax y ++=2关于y 轴对称可得解析式：c bx ax y +-=2
()k h x a y +-=2
关于y 轴对称可得解析式：()k h x a y ++=2
c bx ax y ++=2关于原点对称可得解析式：c bx ax y -+-=2
()k h x a y +-=2
关于原点对称可得解析式：()k h x a y -+-=2
c bx ax y ++=2关于顶点对称得解析式：a
b
c bx ax y 222-+--=
()k h x a y +-=2关于顶点对称可得解析式：()k h x a y +--=2
()k h x a y +-=2
关于点()n m ,对称可得解析式：()k n m h x a y -+-+-=222
二次函数与一元二次方程：
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交点的横坐标的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的根。
实际问题与二次函数：
运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图像与性质求解。