2
将上述两项进行比较可得：
2 U U 2 O V V / O V / 2 Re L L



(3-31)
即物理意义为： Re=特征惯性力/特征粘性力 按Re数的大小，可将流体运动划分为：大Re数流动，
(3-32)
即粘性微弱的流动；Re数接近于1的流动，即一般粘
(3-37)
物理意义为： Fr=特征惯性力/特征重力
如果按Fr数来划分，一般经典流体力学
中独立分出以下两个分支，即:小Fr数流动，
例如地球物理流体力学；大Fr数流动，例如
航空工程中的空气动力学。
三、其他特征无量纲数
1.欧拉数Eu
定义：
Eu p / 0 U
2

p
0L
/
U
2
L
或Eu=特征压力梯度/特征惯性力
w t
u

U L /U
Uu
w t
U w L x
w x
v
w y
Uv
U w L y
w
w x
Uw
1
U w L z
1 0U L
2
1 p
z

p z
0
g g
2 2 2 2w 2w 2w U w w w x 2 x 2 x 2 L2 x 2 y 2 z 2
(特征偏向力)2/(特征粘性力)2 (3-46)
10.Gr数又称格拉晓夫数 某流体块跟周围流体具有温度差，其温度的特征值为， 则该流体块在重力场中将会受到重力浮力ga的作用(如 0,则为沉力)，其中a为流体的热膨胀系数。考察具有温
差热效应的流体运动方程，可引入：
G ga / U L
场的相似准则。
第3-4 特征无量纲数 一、雷诺数 它的定义：
Re UL
(3-28)

根据定义可分析其物理意义：
对于 V V
的惯性项(或称惯性力)的量纲分析，可得： (3-29)
2 U V V V V L
对于 V 的粘性项(又称粘性力) 的量纲分析，可得： U 2 2 V V (3-30) L
式(3-27)是由无量纲量
u , v , w , , x , y , z
所构成的 z分量运动方程，由于由物理量特征量所组成的Re 和Fr也是无量纲的，因此该方程称作无量纲z向分量的运动方 程。或z分量运动方程的无量纲形式，简称无量纲方程。另外，
由于无量纲方程跟选用的单位制无关，还可以由此推出两流
流体力学教案
(第三章相似原理与量纲分析)
第3-3 无量纲方程
上节推导的相似判据，从理论上讲要求在两个流场的所有 对应点进行比较是否相等后，才能断定这两个流场是否相似， 这在实际使用时很不方便，故一般均不采用。本节将引入特 征量的概念，导出无量纲方程以及具有一定实用价值的相似判
据—特征无量纲数。
例如，在粘性流体力学中引入速度U为特征流速，密度 0 为特征密度，长度L为特征长度后，构建无量纲量：
2
特征浮力/特征粘性力
(3-47)
再把上式所示G和Re一起考虑，即有：
Gr G Re ga L /
2
(3-48)
Gr是热(自由)对流中的一个特征参数。
11.Pr数又称普朗特数 流体中的粘性和热传导，均属分子传输现象，对此可有：
Pr / K T 分子粘性/热传导
(3-49)
该特征数主要针对水平流体层热对流问题。
14.Pe数又称贝克来数 在热流量方程中，将温度水平平流和湍流热量垂直输送
进行量顽比较，即得：
Pe UL KT U T L / KT T L
2
=温度平流/湍流垂直热输送
(3-52)
然后再考虑到普朗特数(Pr)和贝克来数(Pe)的表达式， (3-52)式还可改写为：
DE
反映了旋转流体中应该考虑
粘性的范围大小，对此引入埃克曼数：
Ek K / fH
2
~ DE / H =埃克曼厚度/流体特征厚度
2
2
(3-45)
H 2 sin
9.Ta泰劳数又称旋转雷诺数
在旋转流体中，还可引入一个Ta数，即
Ta
4 H
2
4

2
2 U
2
U / 2 H
u u / U , v v / U , w w / U L 2 / 0 , p p / 0U , t t / U x x / L, y y / L, z z / L
(2-23)
将式(3-23)代入不可压缩性流体的z分量方程(3-7)，将会出现
其中KT为热传导扩散系数。
12.Le数又称为路易数
考虑热扩散跟质量扩散的相对重要性，可引入：
Le K T / D 热扩散/质量扩散
(3-50)
13.Ra数又称瑞利数
把格拉晓夫数(Gr)和普朗特数(Pr)综合考虑，则有：
Ra Gr Pr ga L / K T
3
(3-51)
将上式再代入(3-7)式，并在方程两边同除以
w t w x w y
2
U L
2
，得：
u
v
w
w z
UL

1 p
z
Fr
1 Re
2 w
(3-27)
其中：
Fr
U
, Re
gL

分别为特征值所组成的无量纲数，称作为特征无量纲数。
(3-40)
4.Sc数 讨论流体中分子扩散现象时，可有
Sc
D


D
运动学粘性系数/质量扩散系数
(3-41)
或Sc=动量扩散/质量扩散，它称为施密特数，D为质量 扩散系数。
5.We数 考虑流体表面张力的作用，则引入We(韦伯)数，即:
We
U 2 L
=流体动能/反抗表面张力做功
性流动；小Re数流动，即粘性较强的流动。
二、弗罗劳德数
它的定义： Fr
U
2
(3-35)
gL
V 不难看出， V 的惯性项(或称惯性力)与重力项的量级之比，即
2 U O V V / O g / g Fr L


(3-36)
Fr的含义就是流体运动方程中特征惯性力与特征重力之比，即
(3-38)
2.Ma数 利用伯努利方程和流管中连续性方程推求得，其定义为：
Ma
U c
=特征速度/声速
(3-39)
它反映了空气流动中压缩性的影响，当Ma1 的所谓亚声
速流动中，空气可近乎不可压流体。而对于Ma1的超声
速气体，则必须考虑压缩性的影响。
3.Kn数
连续性假设时，引入克努森数
Kn=l/L=分子自由程/宏观线尺度
其特征值为fU,于是从运动方程引入：
Ro
U fL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U L
2
/ fU =特征惯性力/特征偏向力
(3-44)
Ro称为罗斯贝数，它是大气动力学中的一个很重要的特征数。
8.Ek埃克曼数 在旋转坐标系中考察流体运动时,旋转流体经过固体边
界时，在固壁附近将会出现需要考虑粘性的流体薄层称埃 克曼层。该层的厚薄
(3-42)
6.Ri数
在湍流和大气动力学问题中，常引入Ri数，即
g T u Ri / T z z
2
(3-43)
它可用以反映湍流的消长，称作理查尔数，式中 为绝热直减热。

7.Ro数 在旋转坐标系中考察流体运动时，例如地球上的
大气运动，将会出现一种地转偏向力(科里奥利力)，
Pe Pr Re
(3-52’)
15.Nu数又称为努塞尔数 在热对流问题中，常考虑到经过表面进出流体的热量传输，
如Q作为单位面积热传输率的特征值，则有：
Nu QL / K T Q / K T
L
=热传输/热扩散
(3-53)