2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|12B x x =<≤，则A B =（ ） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[]1,2-D ．[1,2)-2.设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设向量(1,2)a =，(,1)b m m =+，//a b ，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．13-D ．3-4.双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．32C ．3D ．45.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.检测600个某产品的质量（单位：g ），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5~105.5之间的产品数为150，则质量在115.5~120.5的长方形高度为（ ）A ．112B ．130C ．16D ．1607.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S =B ．5S 最小C ．36S S =D ．50a =8.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）在区间(,)42ππ内是增函数，则（ ） A ．()14f π=-B ．()f x 的周期为2πC ．ω的最大值为4D ．3()04f π= 9.如图是用二分法求方程320x -=近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ）A ．a m =，b m =B ．b m =，a m =C ．()a f m =，()b f m =D ．()b f m =，()a f m =10.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若4OAF OBF S S ∆∆=，则直线AB 的斜率为（ ） A ．35±B ．45±C ．34±D ．43±11.已知四面体A BCD -中，ABC ∆和BCD ∆都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（ ） A ．60πB ．30πC ．20πD ．15π12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(0)2f =，则不等式()20x f x e -<的解集为（ ）A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足40,360,23120,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．14.若02a <<，02b <<，则函数321()233f x x bx =+-存在极值的概率为 ． 15.若0a >，0b >，且21a b +=，且224a b --的最大值是 ．16.各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin sin()a c A Ba b A B -+=-+． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积S 的最大值．18.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：30岁以上（含30岁） 300 260 140（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 为1AA 上．（Ⅰ）当14AA AE =时，求证：DE ⊥平面1BDC ； （Ⅱ）当12AA AE =时，求三棱锥1C EBD -的体积．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，PAB ∆面积的最大值为23 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过椭圆的左焦点1F ，且l 与椭圆C 交于M ，N 两点，试问在x 轴上是否存在定点D ，使得DM DN ⋅为定值？若存在，求出点D 坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数2()2ln 2()f x x x ax a R =+-+∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的[2,0)a ∈-，不等式20()322(1)a f x a a me a >++-+（其中e 是自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （Ⅱ）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =++-的最小值为4． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求221149a b +的最小值．2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷参考答案一、选择题1-5:ACAAB 6-10:DBCAD 11、12：AB二、填空题13.8 14.1416.22n n n a +=三、解答题17.解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+=，∴sin sinB sin a c A a b C-+=-， 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， 即222b a c ac =+-， 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，∴3B π=． （Ⅱ）22sin3b R π==，解得b =，所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等），所以1sin 23S ac π=≤18.解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人． 由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人． 所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． （Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，∴4m =．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ． 则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=． 19.（Ⅰ）证明：ABC ∆为正三角形，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，∴BD ⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥． 连接1EC ，14AA AE =，12AB AA ==，∴12EA =，ED =，152EC ==，1C D =， 则22211EC ED C D =+，∴1ED C D ⊥， 又1C D BD D =，∴DE ⊥平面1BDC ．（Ⅱ）12AA AE =，∴11ED C D C E ===132C DE S ∆=， 由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高，所以111113332C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯=20. 解：（Ⅰ）由题意，max 11,()222PAB c e S ab ab a ∆===⨯==，且222a b c =+.解得2,1a b c ===.∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在定点(,0)D m ，使得向量DM DN ⋅为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点1(1,0)F -，设直线l 的方程为1x ty =-.联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ，得22(34)690t y ty +--=． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122269,3434t y y y y t t -+==++． 1122(,),(,)DM x m y DN x m y =-=-，21212121212()()()DM DN x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++2121212(1)(1)(()2)ty ty m t y y m y y =---+-++ 221212(1)(1)()(1)t y y m t y y m =+-++++222222229(1)6(1)(615)9(1)(1)343434t t m m t m m t t t -++---=-++=+++++．若DM DN ⋅为定值n ，则615934m ---=，即118m =-，此时13564n =-． ②当直线l 的斜率为0时，11527135(20),(20),(,0),88864A B D DM DN --⋅=-⨯=-，，，亦符合题意； ∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n .21. 解：（Ⅰ）2222()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>．令2()22h x x ax =-+，216a ∆=-． ①当0a ≤时，0ax -≥，∴()()0h x f x x'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当04a <≤时，2160a ∆=-≤，所以()0h x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当4a >时，2160a ∆=->，令()0h x =，得120,0x x =>=>， '12()0(0,)(,)f x x x x >⇒∈+∞；'12()0(,)f x x x x <⇒∈．所以，()f x 在()10,x 和()2+x ∞，上单调递增，在12(,)x x 单调递减． 综上，1当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2当1a >时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[2,0)a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)3f a =-，对任意的[2,0)a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()32a me a f x a a ++>++成立， 即对任意的[2,0)a ∈-，20max 2(1)()32a me a f x a a ++>++都成立， 即对任意的[2,0)a ∈-，不等式22(1)410ame a a a +--+>都成立，记2()2(1)41ah a me a a a =+--+，则()2(2)242(2)(1)aah a me a a a me '=+--=+-．21[2,0),[,1)a a e e ∈-∴∈，且20a +≥． ①当1m ≤时，10,()0ame h a '-<∴≤，即[2,0)a ∈-时，()h a 单调递减. ∴()0h a >，只需(0)0h ≥，解得12m ≥-，∴1[,1]2m ∈-． ②当1m >时，令()0h a '=得2a =-或ln a m =-，因为[2,0)a ∈-，所以2(2)0a +≥. （ⅰ）当21m e <<时，ln [2,0)m -∈-，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <； 当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，∴2min ()(ln )ln 2ln 30h a h m m m =-=-++>， 解得31(,)m e e∈ ，∴2(1,)m e ∈． （ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1a me ≥，所以'()0h a ≥，则()h a 在[2,0)-上单调递增，得2(2)520h me --=->，即252e m <，∴225[,)2e m e ∈. 综上，m 的取值范围是215[,)22e -．22. 解：（Ⅰ）直线1C ：2sin cos ()3R πρθθθρ=⇒=∈， 曲线2C的普通方程为22((2)1x y ++=． （Ⅱ）3C ： ()3R πθρ=∈，即y =．圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==．所以AB == 23．解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值为4a b +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知4a b +=，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=． 即221116()4913a b +≥，当且仅当113223b a=，即1636,1313a b ==时，等号成立．所以，221149a b +的最小值为1613． 另法：因为4a b +=，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a ab a --++=+=<< 当1613a =时，221149a b +取最小值，最小值为1613．。