章末检测
一、选择题
1.下列语句中，是命题的个数是()
①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()
A.p且q
B.p或q
C.非p
D.非p且非q
3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()
A.命题“p且q”为真
B.命题“p或綈q”为假
C.命题“p或q”为假
D.命题“綈p且綈q”为假
4.下列命题，其中说法错误的是()
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件
C.若p∧q是假命题，则p，q都是假命题
D.命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0
5.等比数列{a n}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“∀n∈N＋，都有a n＋1>a n”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若命题p：x＝2且y＝3，则綈p为()
A.x≠2或y≠3
B.x≠2且y≠3
C.x＝2或y≠3
D.x≠2或y＝3
7.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()
A.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B.∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D.∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
9.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a>1
10.已知a、b∈R，那么“0<a<1且0<b<1”是“ab＋1>a＋b”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在
( ) A.金盒
B.银盒
C.铅盒
D.无法判断 12.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是
( )
A.m >－1，n <5
B.m <－1，n <5
C.m >－1，n >5
D.m <－1，n >5
二、填空题
13.命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是__________________________________. 14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为__________________.
15.设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |
x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是__________.
16.在下列四个命题中，真命题的个数是________. ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；
②∀x ∈Q ，13x 2＋1
2x ＋1是有理数；
③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10. 三、解答题
17.写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
18.写出下列命题的“綈p ”命题，并判断它们的真假. (1)p ：∀x ，x 2＋4x ＋4≥0. (2)p ：∃x 0，x 20－4＝0.
19.求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件. 20.设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围.
21.(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？ (2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件.
22.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要非充分条件，求a 的取值范围.
答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.A
6.A
7.A
8.C
9.C 10.A 11.B
12.A [A ∩(∁U B )满足⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋m >0，
x ＋y －n >0，
∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎪⎨⎪⎧
2×2－3＋m >0，
2＋3－n >0，
∴⎩⎨⎧
m >－1，
n <5.
] 13.存在x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 14.若a ≤b ，则2a ≤2b －1 15.(－2,2) 16.4
17.解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则
x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题.
否命题：若
x －2＋(y ＋1)2≠0，
则x ≠2或y ≠－1，真命题. 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则
x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题.
18.解 (1)綈p ：∃x 0，x 20＋4x 0＋4<0是假命题. (2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题. 19.证明 充分性：
当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by
＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a
2
，直
线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1
b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直. 必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，
那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭
⎫－1
b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0. 综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件.”
20.⎝⎛⎦⎤0，1
2∪(1，＋∞) 21.解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3). 因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )， 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件.
(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立
⇔⎩
⎨⎧
4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立. 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0. 22.解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)} ＝{x |3a <x <a (a <0)}
B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2} ＝{x |x <－4或x ≥－2}.
∵綈p 是綈q 的必要非充分条件， ∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q . 则{x |綈q }{x |綈p }，
而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}， {x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}， ∴{x |－4≤x <－2}
{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，
则⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎨⎧
a ≤－4a <0
， 即－2
3≤a <0或a ≤－4.。