章末检测
一、选择题
1．下列语句中，是命题的个数是()
①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是() A．p且q B．p或q
C．非p D．非p且非q
3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是
() A．命题“p且q”为真
B．命题“p或綈q”为假
C．命题“p或q”为假
D．命题“綈p且綈q”为假
4．下列命题，其中说法错误的是() A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件
C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题
D．命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0
5．等比数列{a n}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“∀n∈N＋，都有a n＋1>a n”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若命题p：x＝2且y＝3，则綈p为() A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3
C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3
7．(2012·山东)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．(2012·重庆)命题“若p 则q ”的逆命题是
( ) A ．若q 则p
B ．若綈p 则綈q
C ．若綈q 则綈p
D ．若p 则綈q 9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
( )
A ．a <0
B ．a >0
C ．a <－1
D ．a >1
10．已知a 、b ∈R ，那么“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的
( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在
( )
A ．金盒
B ．银盒
C ．铅盒
D ．无法判断 12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是
( ) A ．m >－1，n <5
B ．m <－1，n <5
C ．m >－1，n >5
D ．m <－1，n >5
二、填空题
13．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是______．
14．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为__________________．
15．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是______________________________________．
16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；
②∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.
17．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
18．写出下列命题的“綈p”命题，并判断它们的真假．
(1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0.
(2)p：∃x0，x20－4＝0.
19．求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
20．设p：关于x的不等式a x>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
21．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
22．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要非充分条件，求a的取值范围．
答案
1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．A 9．C 10．A 11．B 12．A
13．存在x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3
14．若a ≤b ，则2a ≤2b －1
15．(－2,2)
16．4
17．解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若
x －2＋(y ＋1)2≠0， 则x ≠2或y ≠－1，真命题．
逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．
18．解 (1)綈p ：∃x 0，x 20＋4x 0
＋4<0是假命题． (2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．
19．证明 充分性：
当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋
by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2
，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b
，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直．
必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，
那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭
⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0. 综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．
20．解 当p 真时，0<a <1，
当q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，1－4a 2<0， 即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12
. 又p 和q 有且仅有一个正确．
当p 真q 假时，0<a ≤12
，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a 的取值范围为⎝⎛⎦
⎤0，12∪(1，＋∞)． 21．解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )，
但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．
(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立 ⇔⎩⎨⎧
4m <0
Δ＝4m 2＋16m <0
⇔－4<m <0. 又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立． 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.
22．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)}
＝{x |3a <x <a (a <0)}
B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}
＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}
＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}
＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，
∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q .
则{x |綈q }{x |綈p }，
而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，
{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a (a <0)}， ∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a 或x ≥a (a <0)}， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3 a ≥－2 a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4 a <0，即－23≤a <0或a ≤－4.。