章末检测
一、填空题
1．下列语句中，是命题的是________(填序号)．
①|x ＋2|；②－5∈Z ；③π∉R ；④{0}∈N .
2．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为_________________________________．
3．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________．
4．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“∀n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ”的
____________条件．
5．与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是________(填序号)．
①若x ∉A ，则y ∉A ；②若y ∉A ，则x ∈A ；
③若x ∉A ，则y ∈A ；④若y ∈A ，则x ∉A .
6．已知p ：x ＝3或x ＝2，q ：x －3＝3－x ，则p 是q ______________条件．
7．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：
若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是________(填序号)．
①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或綈q ”为真；
③命题“p 或q ”为假；④命题“綈p 且綈q ”为假．
8．下列命题，其中说法正确的序号为____________．
①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” ②“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件
③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题
④命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0
9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．
根的充要条件是n ＝________. 10．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
11．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；
②∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.
12．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．
①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；
②已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充要条件为ab >0；
③“⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝
b 2－4a
c ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件；
④“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；
⑤“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．
二、解答题
13．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命
题，并判断它们的真假．
14．写出下列命题的“綈p ”命题，并判断它们的真假．
(1)p ：∀x ，x 2＋4x ＋4≥0.
(2)p ：∃x ，x 2－4＝0.
15．求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充
要条件．
16．设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x
＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．
17．(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么
条件？
(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．
18．命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，
a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
(1)写出该命题的逆命题；
(2)判断逆命题是否为真，并给出证明．
答案
1．②③④ 2.若a ≤b ，则2a ≤2b －1
3．a <－1
4．充分不必要
5．④
6．必要不充分
7．②③
8．①②④
9．3或4
10．a <0
11．4
12．①③⑤
13．解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若
x －2＋(y ＋1)2≠0， 则x ≠2或y ≠－1，真命题．
逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．
14．解 (1)綈p ：∃x ，x 2＋4x ＋4<0是假命题．
(2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．
15．证明 充分性：
当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜
率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b
，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭
⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直． 必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，
那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭
⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.
所以，a ＋2b ＝0.
综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．”
16．解 当p 真时，0<a <1，
当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1－4a 2<0，
即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12
. 又p 和q 有且仅有一个正确．
当p 真q 假时，0<a ≤12
， 当p 假q 真时，a >1.
综上得，a ∈⎝⎛⎦
⎤0，12∪(1，＋∞)． 17．解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．
因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )，
但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．
(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立 ⇔⎩
⎨⎧
4m <0
Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立．
故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.
18．解 (1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数
列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．
(2)命题当q ＝1时为假，当q ＝－12
时为真．证明如下：
设数列{a n }的首项为a ，公比为q ， 由已知，得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， ∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m .
∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，
∴q ＝1或q ＝－12
. ①当q ＝1时，
∵S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1， S m ＋1＝(m ＋1)a 1，
∴S m ＋S m ＋1≠2S m ＋2，
∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．
②当q ＝－12
时， ∵S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12
＝43a 1⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， 而2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12
＝43a 1⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴S m ＋S m ＋1＝2S m ＋2，
∴S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 综上可得：
当公比q ＝1时，逆命题为假命题，
当公比q ＝－12
时，逆命题为真命题．。