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*
例９ 设A={a,b,c,d}, *和是A上的两个二元运算. * a a d b a c a b a b b b c b c c c d c d c d a b c d a a b c d b b a d d c d c a b d c d b c
d a
b和d都是运算*的左单位元， a是运算的右单位元。
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代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。

定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
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例５ 定义函数*:N2N，使*(n1,n2)=n1· n2, 令S1={2k|kN}={2,22,23,24,25,…} 显然S1N, 于是S12N2
若(n1,n2)S12，则(n1,n2)N2，*(n1,n2)=n1· n2N， *(n1,n2)是否属于S1？
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
{a,b} {b} {a}
{a,b}

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二、运算的封闭性
定义２ 设*是集合 A 上的一个二元运算，SA, 若对于 每一个序偶(ai,aj)S2,都有 *(ai,aj)S, 则称运 算*在S上是封闭的。 定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的。
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
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本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
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例8 设S={|是集合A上的关系}，对于任意
1,2S，12仍是A上的关系，所以关系
的复合运算是S上的二元运算。 例10 在例8中，对任意关系S ，有 IA=IA=， 所以恒等关系IA是集合A上关系复合运算的 单位元。
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定理１ 设*是集合A上的二元运算， el和er分别是*的
。
求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
左单位元和右单位元，则el=er=e ，且e是*的 唯一的单位元。

证明
因为el和er分别是*的左、右单位元，
因此，el*er=el=er， 令e=el=er，则e是*的单位元。 设e也是*的单位元，则e*e=e=e 因此e是*的唯一的单位元。
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2． 零元
定义5 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素 zlA，使得对于任意的aA,有zl*a=zl，则 称zl是A中运算*的左零元；若存在一元素 zrA ，使得对于任意的aA, 有a*zr=zr,则称 zr是A中运算*的右零元，若存在一元素zA， 使得对于任意的aA, z*a=a*z=z,则称z是A中 运算*的零元。
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例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
(3) 若对于任意的a,b,cA,有
a*(bc)=(a*b)(a*c) (bc)*a =(b*a)(c*a) 则称运算*对运算是可分配的。
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例６ 实数集R上的二元运算*定义为: r1 r2 r1 r2 r1r2
因为 r1 r2 r1 r2 r1r2 r2 r1 r2 r1 r2 r1 所以*满足交换律。
但20 S22
因此*运算在的子集S22上不封闭。
2014-6-12 17Байду номын сангаас
三、二元运算的一些常见的性质
定义３ 设A是非空集合，*和 是A上的二元运算。 (1) 若对于任意a,bA ，有a*b=b*a，则称*在 A 上是
可交换的。
(2) 若对于任意a,b,cA，有a*(b*c)=(a*b)*c,则 称*在A上是可结合。
对于任意(2i,2j)S12， 2i2j=2i+j , i+jN，2i+jS1 , 这意味着正整数集 N 上的运算 * 在 N 的子集 S1 上 也是封闭的.
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令S2={1,2,3,…,10} ，显然S2N，S22 N2，
任取(i,j)S22，且*是N上的二元运算，因此 *(i,j)=ijN ，但*(i,j)是否属于S2呢？ 我们取(4,5)S22，则(4,5)N2， *(4,5)=45=20N,
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~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~x=y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )

a1 (a1 , a1 )
a2

an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
(a1 , a2 ) (a1 , an )
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四、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素
１．单位元
定义４ 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素elA， 使得对于任意的aA，有el*a=a,则称el是A中运算 *的左单位元； 若存在一元素erA，使得对于任意aA ，有a*er=a， 则称er是A中运算*的右单位元； 若存在一元素eA ，使得对于任意aA， 有e*a=a*e=a， 则称e是A中运算*的单位元。
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定理２ 设*是A上的二元运算，zl和 zr 分别 是 *的左零元和右零元，则zl=zr=z,且 z 是* 唯一的零元。
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Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
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Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
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This is taken from a French stamp
r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
r1 r2 r3 r2r3 r1r2 r1r3 r1r2r3 所以 r1 (r2 r3 ) (r1 r2 ) r3 , 满足结合律。
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(r1 r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 ) r3
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3 r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2r3 r1r2r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
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初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
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什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。