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初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
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Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
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Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
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This is taken from a French stamp
{a} {b} {a,b} si {a} {b} si {a,b} {b} {a}
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
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例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
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代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。
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什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。
。
求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
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~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~ x =y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )

a1 (a1 , a1 )
a2

an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
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本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
(a1 , a2 ) (a1 , an )
a2 an
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(a2 , a1 ) (a2 , a2 ) (a2 , an ) (an , a1 ) (an , a2 ) (an , an )
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例如 设A={a,b},2A上的一元运算'和二元运算用运算 表定义如下：
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代数（ Algebra ）是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数 学和抽象代数学两部分。 高斯在十八世纪证明了代数基本定理；挪威数学家阿贝尔 （ 1802-1829 ）在十九世纪初（ 1824 ）证明了不能用根式 求解一般五次方程；法国数学家伽罗瓦（ 1811-1832 ）在 1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可 能性问题。他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为 近世代数的创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究 代数运算结构的科学。即把代数学由初等代数时期推向抽象代数 即近世代数时期。