选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ）A ．3(32,)4πB ．5(32,)4π-C ．5(3,)4πD ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数) 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．2、曲线C 的极坐标方程为：ρ=acos θ（a ＞0），直线l 的参数方程为：（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相切，求a 值．3、在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离最小值．综合应用1、曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、B 11(0,)(,0)52、C (0,4)(8,0)-、D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是 （ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。

4.若直线l 的参数方程是x t y t=+=-+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪345235（t 是参数），则过点（4，－1）且与l 平行的直线在y 轴上的截距是 。

5.方程x t y t =+︒=-+︒⎧⎨⎩550350sin cos （t 是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。

8.在极坐标系有点M(3,3π)，若规定极径＜0, 极角[0,2]，则M 的极坐标为 ；若规定极径＜0，极角(-,)，则M 的极坐标为 .9.∆OP P 12的一个顶点在极点O ，其它两个顶点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-12443521ππ，，，P P ，则∆OP P 12的面积为。

6．(2013·高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．7、平面直角坐标系中,将曲线2cos 2(sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为4sin ρθ=(Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C公共弦的垂直平分线的极坐标方程.8、已知曲线C 的极坐标方程是0sin 2cos 2=+-θθρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 222221（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB 的值.7、已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值围．28．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？21．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

22．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。