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(完整版)极坐标与参数方程专题复习

坐标系与参数方程一、考试大纲解析:1.坐标系(1)理解坐标系的作用;(2)了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况;(3)能在坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义;2.参数方程(1)了解参数方程和参数方程的意义;(2)能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程; (3)能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用;二、题型分布:极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一,在每年的高考试卷中,极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。

由于极坐标是新添的内容,考纲要求比较简单,所以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾坐标系1.伸缩变换:设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

3.点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化:6.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a对应图形如下:7.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a :⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a对应图形如下:ϕθ=θρcos a=θρcos a -=θρsin a=图4θρsin a -=图5)cos(ϕθρ-=a参数方程 1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数。

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2.常见曲线的参数方程如下:(1)过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线:ααsin cos 00t y y t x x +=+= (t 为参数)其中参数t 是以定点P (x 0,y 0)为起点,对应于t 点M (x ,y )为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离.(2)中心在(x 0,y 0),半径等于r 的圆:θθsin cos 00r y y r x x +=+= (θ为参数)θρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a-=图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a 图6(3)中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆:θθsin cos b y a x == (θ为参数) (或θθsin cos a y b x ==)(4)顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线:pty pt x 222== (t 为参数,p >0)四、直击考点:考点一:坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化 极坐标与直角坐标的互化:参数方程与标准方程的互化:标准方程化为参数方程:熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程:牢记参数放一边,然后利用三角函数的知识点消参数。

(22sin sin cos 1,tan cos k θθθθθ+===如)例题:1把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( ).A .1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B .sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C .cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D .tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ x ⎩(直极互化 图)解答:D1xy =,x 取非零实数,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制.2.若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数,则直线的斜率为( ). A .23 B .23- C .32 D .32- 解答:D233122y t k x t --===--3.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________. 解答:221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩. 4.分别在下列两种情况下,把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程: (1)θ为参数,t 为常数;(2)t 为参数,θ为常数. 解:(1)当0t =时,0,cos y x θ==,即1,0x y ≤=且; 当0t ≠时,cos ,sin 11()()22tt t t x y e e e e θθ--==+-,而221x y +=,即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-;(2)当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2tt x e e -=±+,即1,0x y ≥=且; 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2t t y e e -=±-,即0x =;当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,即222cos sin 222cos sin tt x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-,即22221cos sin x y θθ-=. 实践练习:1.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是2.方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x (t 为非零常数,α为参数)表示的曲线是 ( )3.把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程.考点二:最值为题通过题意得到参数方程,一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值 例题1.点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ).A .B .C D解析:C椭圆为22164x y +=,设,2sin )P θθ,24sin )x y θθθϕ+=+=+≤2.已知ABC ∆中,(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数), 求ABC ∆面积的最大值. 解:设C 点的坐标为(,)x y ,则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩,即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心,以1为半径的圆. ∵(2,0),(0,2)A B -,∴||AB ==且AB 的方程为122x y+=-, 即20x y -+=,则圆心(0,1)-到直线AB=.∴点C 到直线AB 的最大距离为1+∴ABC S ∆的最大值是1(132⨯+=.实践练习:1.在圆x 2+2x +y 2=0上求一点,使它到直线2x +3y -5=0的距离最大.2.在椭圆4x 2+9y 2=36上求一点P ,使它到直线x +2y +18=0的距离最短(或最长).3.A 为椭221259x y +=上任意一点,B 为圆22(1)1x y -+=上任意一点,求|AB |的最大值和 最小值。

考点三:其他综合问题 例题:1.已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和,120t t +=且,那么||MN =_______________.解析:14||p t显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴,即x 轴,121||2||2|2|MN p t t p t =-=.2.直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为( ).A .125 B C D解析:B11221xx ty ty⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩,把直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩代入229x y+=得222(12)(2)9,5840t t t t+++=+-=,1212||5t t-===12|t t-=3.已知直线l过定点3(3,)2P--与圆C:5cos()5sinxyθθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A、B两点.求:(1)若||8AB=,求直线l的方程;(2)若点3(3,)2P--为弦AB的中点,求弦AB的方程.解:(1)由圆C的参数方程225cos255sinxx yyθθ=⎧⇒+=⎨=⎩,设直线l的参数方程为①3cos()3sin2x tty tαα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数,将参数方程①代入圆的方程2225x y+=得2412(2cos sin)550t tαα-+-=,∴△216[9(2cos sin)55]0αα=++>,所以方程有两相异实数根1t、2t,∴12||||8AB t t=-==,化简有23cos4sin cos0ααα+=,解之cos0α=或3tan4α=-,从而求出直线l的方程为30x+=或34150x y++=.(2)若P为AB的中点,所以120t t+=,由(1)知2cos sin0αα+=,得tan2α=-,故所求弦AB的方程为2242150(25)x y x y++=+≤.实践练习:1.已知直线;l :⎩⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线(y-2)2-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P(-1,2)。

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