2 x x
y
即τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和
α1+90o截面，且α1=α0+45o 。
2. ( x y )cos 21 2 x sin 21 0
1
x
2
y
Байду номын сангаас
x
2
y
cos 21
x
sin 21
即τmax 、τmin作用面上
1
x
y
2
3.
max min
x
y
2
(
x
2
x y 0 45o
x y 0 45o
x y
x 0 x 0
0 45o 0 45o
4.
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
max min x y
即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。
三、最大切应力及其作用平面的位置
求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位
D
FN A
F
dt
20 103 50 2106
63.7MPa
D
T
WP
M
d2t / 2
2 (600) 502 2 109
76.4MPa
D 63.7MPa D 76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图 x 63.7MPa y 0 120o
x 76.4MPa
x
y
2
x
y
x 1.04MPa y 0 x 0.469MPa
40o
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
1.04 sin 80o 0.469 cos 80o 2
0.59MPa
C
M Iz
y
25103 600103 / 4 200 6003 1012 / 12
1.04MPa
C
3FS 2bh
(1
4 y2 h2
)
3 50103 2 200 600106
(1
4 1502 106 6002 106
)
0.469MPa
C 1.04MPa C 0.469MPa
⑶ 作出C 点的应力状态图
单元体三对面的应力已知 ，单元体平衡
单元体任意部分平衡
由截面法和平衡条件可求 得任意方位面上的应力，即 点在任意方位的应力。
二、应力状态的分类
1.主平面 单元体上无切应力的平面。
2.主应力 作用在主平面上的正应力。
3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平 面构成的六面体，作用三对主应力，且有：
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
1.
x
2
y
sin
20
x
cos
20
0
0 0
即σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面，σmax、 σmin为主应力。
2.
tan 20
2 x x
y
即σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截面和 α0+90o截面。
3. σmax作用面方位角度α0
y
)2
2 x
max
max
min
2
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。
解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大
T M
WP WP
作应力状态图
x y 0
x
max min
x
y
2
(
x
y
2
)2
2 x
0
1 2
arctan(
2 x x
y
)
45o
45o
圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面， 由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。
2
cos 2
x
sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
d 0 d
( x y )cos 21 2 x sin 21 0
解得：
tan 21
x 2 x
y
可确定两个相互垂直
的截面 1,1 90
代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式
max min
(
x
2
y
)2
2 x
1.
tan 21
x 2 x
y
tan
20
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点 在斜截面n-n上的应力。
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN M Fl 25kN m
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x
面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应 力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度， 逆时针转为正，顺时针转为负。
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力
二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d 0 d
x
2
y
(2 sin
20 )
x (2cos
20 )
0
解得：
x
2
y
sin
20
x
cos
20
0
tan 20
2 x x
y
可确定两个相互垂直
的截面 0 ,0 90
代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：
1 2 3
（按代数值大小排序）
·三向应力状态 ·二向应力状态 ·单向应力状态
三个主应力都不等于零。 两个主应力不等于零。 只一个主应力不等于零。
§13-2 平面应力状态应力分 析的解析法
一、任意斜截面上的正应力和切应力
Fn 0 : F 0 :
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2