单位圆与三角函数线
复习引入
初中锐角三角函数是如何定义的？
α O
P
┍ M
sinα=
cosα= tan α=
MP 当OP=1时，sinα=MP
OP
OM
cos α=OMOPMP NhomakorabeaOM
复习：任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
角α的终边
. P(x,y)
y
O
y
①比值 r 叫做 的正弦，
的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何 意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任 意角三角函数值？
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 为P（x，y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向 线段表示角α的正切值最x合适？
tan y AT
x
y T
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
yT P
此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M Ox
P（x，y）
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
O
Ax
y P
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反 向延长线相交于点T，则AT=tanα.
有向线段：带有方向的线段.
如:有向线段OM,始点为O点，终点为M点， 方向为：由O点指向M点
根据实际需要，我们规定： OM与X轴同向时，方向为正向，且有正值X； OM与X轴反向时，方向为负向，且有负值X.
新课讲授
一、单位圆：
1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y
2、单位圆与x轴的交点：（1，0）和（-1，0）
N
PT
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
o
α
MA
x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别
是点P在X轴、Y轴上的正射影
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
证明：如图示： ∵ 为锐角
y
OM | OM |, MP | MP |
P
∵ sin= MP
OM
cos = OM
x | MP | | OM || OP | 1
sin cos 1
例6. 利用单位圆中的三角函数线
⑴比较大小:
①sin 400与sin1100;② cos 4 与cos 6 ;
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
tan( 2k ) tan( k Z ).其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数
记作sin，即 sin y ．
x
r
②比值 叫做 的余弦，
r
x 记作cos，即 cos x ．
y
r
③比值 叫做 的正切，
x
记作
tan，即
tan

y x
．
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，
y），角α的三角函数是怎样定义的？
sin y cos x
tan y (x 0)
5
7
③ tan 4 与tan 6 .
5
7
⑵若

3
≤θ≤
5，6 试确定sinθ的取值范围.
cosθ呢?
课堂小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线比较三角函数值的大小； ③利用三角函数线确定角的集合或范围.
y (Ⅰ)
MA
o
x
PT
α的终边 (Ⅳ)
例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例题
例2.作出下列各角的正弦线、余弦线和正
切线：
（1）2
3
（2）
3
（3）
4
例23.比较三角函数值的大小：
cos 1 , cos 5
4
6
例4.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位 圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数， 此时用哪条有向线段表示角α的正切x 值最合
适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交 点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条 有向线段表示角α的正切值最x 合适？
解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
MP·OA/2 ＜α·OA ·OA /2 ＜OA ·AT /2
MP＜α＜AT sinα＜α＜tanα
例5：设 为锐角，试证: sin cos >1.
这样，对任意角α,都有co：s OM
• 我们称有向线段OM为角α的余弦线.
uuuur uuur uuur uuuur
我们把向量 OM , MP和AT (或AT ') 分别叫 做α的余弦线、正弦线和正切线.
α的终边 y
P
A
Mo
x
(Ⅱ)
T
y
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
y α的终边 T
P o MA x
的交点为P（x，y），则 cos x ，sin y 都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线 问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，