1.2.2 单位圆与三角函数线
前面我们研究了三角函数在各象限内的
符号，学习了将任意角的三角函数化成0º 到 360º 角的三角函数的一组公式， 由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习
正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法
cos1>cos1.5
tan2<tan3
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º <x<360º ) 解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知 x1=30º , x2=150º .
例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
OAT
y N O P T x M A
1 1 OA OA AT 2 2
即sinα<α<tanα .
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 AT
B(0，1)，B’(0，－1).
2. 有向线段的概念：
带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
OA 3
OB 3
x B O A
3. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点，始边与x轴的 正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x， y），过P作x轴的垂线， 垂足为M； 做PN垂直 y轴于点N， 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
Hale Waihona Puke 我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ') 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
例1.分别作出
2 3
3 、 4
2 、 3
的正弦线、
余弦线、正切线。
例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM，sinα=ON. 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y 轴同向，y’轴与α角的终边 (或其反向延长线)相交于点 T(或T ’)，则tanα=AT(或 AT ’)
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
证明：在△OMP中， OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|， 因为三角形两边之和 大于第三边，所以 |sinα|+|cosα|≥1。
例5. 已知α∈(0， 2 )，试证明sinα<α<tanα .
证明：sinα=|ON|=|MP|, α = AP tanα=|AT|. 又 S扇形OAP S 所以
我们首先建立下面的坐标系：
在观览车转轮圆面所在的平面
内，以观览车转轮中心为原点，
以水平线为x轴，以转轮半径为
单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记 xOP ，则由正弦函数的定义可知，
MP sin
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为