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知识预览
1.有向线段： 带有方向的线段. 2.三角函数线：如图，
已知角α的终边位置.则由三角函数的定义可知点 P 的坐标 为(cosα,sinα).点 T 的坐标为(1,tanα).其中 sinα =MP,cosα=OM,tanα=AT.把有向线段 MP、OM、AT 叫做α的正 弦线、余弦线和正切线.
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【 例
利用三角函数线求定义域 2 】 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ：
2cosx − 1 ;(2)y=lg(3-4 sin 2 x ). (1)y=
思路分析： 本题考查利用三角函数线求函数定义域.解 答本题可首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用 三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围.
答案：B
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角α= 8 π 的正弦线和余弦线，那
么下列结论中正确的是( ) A.MP<OM<0 B.OM>0>MP C.OM<MP<0 D.MP>0>OM
答案：D
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3.比较大小：sin1＿＿＿＿
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●想一想：正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线 提示： 由原点指向垂足；正切线由切点指向α的终边所在直线与切 线的交点.
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自测自评
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终 边( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=x 上或在直线 y=-x 上
答案：B
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3.设α是第四象限角，则 sinα和 tanα的大小关系是( A.sinα>tanα B.sinα<tanα C.sinα≥tanα D.不确定
)
解析：画出三角函数线即可判断出来.如图： sinα=MP,tanα=AT, 而 MP>AT, 所以 sinα>tanα.
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2 求下列函数的定义域： (1)y= 2 cos x − 3 ; (2)y=lg sinx+ cos x .
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解：(1)要使函数有意义，则须 2cosx- 3 ≥0，即 cosx≥ 如右图所示，
3 2
.
过点(
3 ,0)作 2
x 轴的垂线与单位圆交于点 P、P′，则 cos
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基础达标
一、选择题 ) 1.对三角函数线，下列说法正确的是( A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C.任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D.任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
sin
π
3 (填“>”或“<”).
答案：<
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4.有三个命题：
5π ① 6 和 6 的正弦线相等；
π
4π ② 3 和 3 的正切线相等； π 5π ③ 4 与 4 的余弦线相等.
π
其中真命题是＿＿＿＿＿.
答案：①②
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5.利用单位圆中的三角函数线， 确定满足 sinα-cosα>0 的α的范围.
2 2
2π 4π π π- 3 ,2kπ+ 3 )∪(2kπ+ 3 ,2kπ+ 3 )(k∈Z).即(kπ- 3 ,kπ
π
π
+ 3 )(k∈Z).
π
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规律归纳 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以 下几点： (1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线； (2)先找到“正值”区间，即 0~2π间满足条件的角θ的范围， 然后再加上 2π的整数倍； (3)注意区间是开区间还是闭区间.
答案：C
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6.若 4 <θ< 2 ，则下列不等式成立的是( A.sinθ>cosθ>tanθ C.sinθ>tanθ>cosθ
π
π
)
B.cosθ>tanθ>sinθ D.tanθ>sinθ>cosθ
解析：结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正 切线最长，余弦线最短，且都为正，故 tanθ>sinθ>cosθ.
3 3 3 3 sin 4 π =MP,cos 4 π =OM,tan 4 π =AT，即 4 π 的正弦线为 MP，余弦
线为 OM,正切线为 AT.
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规律归纳 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点， 然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和 余弦线. 2.作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于 一点 T，即可得到正切线 AT ，要特别注意，当角的终边在第 二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来 作正切线.
标为( −
1 3 2, 2 )
1 3 .答案：( − 2 , 2 )
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8.满足 sinα<
3 2
1 ,cosα> 2 且α∈(0,2π)的角α的取值范
围为＿＿＿＿＿＿＿.
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解析：如图所示，
满足 sinα<
1 3 2 ,cosα> 2
答案：A
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2 4.若α是三角形的内角，且 sinα+cosα= 3 ,则这个三角形
是( ) A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 π 解析：若 0<α≤ 2 ,则 sinα+cosα≥1,∴α为钝角.
答案：D
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π
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作三角函数线 【例
3π 1】作出 4
的正弦线、余弦线和正切线.
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解：在直角坐标系中作单位圆， 如右图所示，
3 以 Ox 轴为始边作 4 π 角，角的终边与单位圆交于点 P，作
PM⊥Ox 轴，垂足为 M，由单位圆与 Ox 轴正方向的交点 A 作 Ox 轴 的 垂 线 与 OP 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
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解：如右图，
设角α终边与单位圆的交点为 P（x，y） ，sinα=y,cosα=x.若 sin
π
α=cosα,即 y=x，角α的终边落在直线 y=x 上，此时α=kπ+ 4 . 若 sinα-cosα>0，即 y-x>0，此时角α的终边落在 y=x 上方，反之
5π 落在 y=x 下方， 因此角α的范围为 2kπ+ 4 <α<2kπ+ 4 (k∈Z).
3 2
∠xOP=cos∠xOP′=
,而∠xOP= 6 ,∠xOP′=- 6 ,∴满足条件
π π
π
π
的所有角 x 的集合是{x|2kπ- 6 ≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}.
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利用三角函数线证明三角不等式
π 【例 3】求证：当α∈ 0, 2 ，sinα<α<tanα.
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2.三角函数线的作用与单位圆有关的三角函数线是对任 意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数的几 何表示，使我们对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮 助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律， 加深了形与数的结合.它的主要作用是解三角不等式， 证明三角 不等式，求函数定义域及比较大小，同时也是以后将要学习的 同角三角函数基本关系式，三角函数图象与性质及三角变换的 基础.
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解：(1)如图.
1 π π ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ- 3 ,2kπ+ 3 ］(k∈ Z).
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(2)如图.
3 3 3 ∵3-4 sin x >0,∴ sin x < 4 ,∴- 2 <sinx< 2 .∴定义域为(2k
5.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5
)
解析：作出α=1,β=1.2,γ=1.5 的三角函数线观察即可.
答案：D
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二、填空题 7.点 P 从(1,0)出发， 沿单位圆 x + y