直线与方程知识点复习： 一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB =（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

典型例题例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。

解：设直线的截距式方程为：x a yb +=1则有-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪541125a bab ⇒==-a b 52，或，a b =-=524∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点． （1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围．分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有PB k k ≥；当l 的倾斜角大于90°时，则有PA k k ≤． 解：如图1，有分析知=PAk 23)1(4----＝－1， =PB k 23)1(2---＝3．∴ （1）1-≤k 或3≤k ． （2）arctan3≤α≤43π．说明：容易错误地写成－1≤k ≤3，原因是或误以为正切函数在[)π,0上单调递增．图1x例3 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),21(m 共线，求m 的值． 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =．∴22132332+-=+--m ，解得21=m ． 说明：由三点共线求其中参数m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m 的方法最简便．例4. 在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120x y P P -+=- 距离相等。

分析：（1）设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1，故点P 的坐标为（x ，3x ＋1），由距离公式得x 的方程，解得x ＝0。

（2）设P （x ，y ），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x ＋y －1＝0，再解方程组得P （0，1）。

解法1：设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1 故点P 的坐标为（x ，3x ＋1）()()()()由距离公式得：x x x x -++=-++1322312222解之得：x ＝0∴所求的点为P （0，1） 解法2：设P （x ，y ），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为： x y +-=<>101又3102x y -+=<>解由<1>、<2>组成的方程组得：P （0，1）练习:1. 直线ax by ab +=≠10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A. 12abB.12ab C. 12abD.12ab2. 过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. x y +=5 B. x y -=5C. x y +=5或x y -=40D. x y -=5或x y +=403. 已知直线Ax By C ++=0的横截距大于纵截距，则A 、B 、C 应满足的条件是（ ） A. A ＞BB. A ＜BC.C A C B +>0D.C A CB -<04. 直线l ax y b l bx y a ab 12000：，：-+=+-=≠()的图象只可能是下图中的（ ）5. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是（ ）A. a b =-=-77，B.a b =-=-772，C. a b =-=727，D. a b =-=-727，6. 若直线l 的倾斜角为π+-⎛⎝ ⎫⎭⎪arctan 12且过点（1，0），则直线l 的方程为________。

7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。

（1）直线经过点()()P P 122103，、，；（2）直线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为-3。

8. 设直线l 的方程为()()m m x m m y m 222321620--++-+-=，根据下列条件分别确定实数m 的值。

（1）l 在x 轴上的截距是-3； （2）斜率是1。

9. 过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当PA PB ·取最小值时，求直线l 的方程。

10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x 轴和y 轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。

11. 已知点P （-1，1）、Q （2，2），直线l y kx ：=-1与线段PQ 相交，求实数k 的范围。

12．已知∆ABC 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆ABC 各边所在直线方程．参考解题格式：9. 解：设直线l 的方程为()y k x k =-+<210()分别令x y ==00，得：()B k A k 012120，，，--+⎛⎝ ⎫⎭⎪()()∴=-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+≥PA PBk k k k ··12201224184222222∵k ＜0，∴当且仅当k =-1时，PA PB ·取得最小值4故所求直线的方程为x y +-=3011. 解：∵直线l 的纵截距为-1 ∴直线过点M （0，-1） ∵l 与线段PQ 相交∴≥≤k k k k MQ PM或()() k k MQ PM=---==----=-21203211102∴≥≤-k k 322或12．分析：B 点应满足的两个条件是：①B 在直线01=-y 上；②BA 的中点D 在直线012=+-y x 上。

由①可设()1，B x B ，进而由②确定B x 值. 解：设()1，B x B 则AB 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+221，B x D ∵D 在中线CD ：012=+-y x 上∴012221=+⋅-+B x ，解得5=B x ，故B (5, 1).同样，因点C 在直线012=+-y x 上，可以设C 为()C C y y ，12-，求出()131---=，，C y C .根据两点式，得ABC ∆中AB ：072=-+y x ， BC ：014=--y x ，AC ：02=+-y x .。