第三章直线与方程【典型例题】题型一求直线的倾斜角与斜率设直线I斜率为k且1<k<1则倾斜角的取值范围拓展一三点共线问题例已知三点A(a, 2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值.例已知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab 0))在一条直线上，则--a b拓展二与参数有关问题例已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0),过点P (-1,2)的直线I与线段AB始终有公共点，求直线I的斜率k的取值范围•变式训练：已知A(2, 3),B( 3, 2)两点，直线I过定点P(1,1)且与线段AB相交，求直线I的斜率k 的取值范围•/A拓展三利用斜率求最值例已知实数x、y满足2x y 8,当2<x w3寸，求y的最大值与最小值。
x3.1.2两条直线平行与垂直的判定【【典型例题】题型一两条直线平行关系例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0,25)，试判断^与12是否平行？2变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是().A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4题型二两条直线垂直关系例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标.变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？(2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—.题型三根据直线的位置关系求参数例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2)(1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值题型四直线平行和垂直的判定综合运用例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状.变式训练：已知A (1, 1), B (2, 2), C ( 3, -3)，求点D，使直线CD丄AB,且CB// AD .探点一数形结合思想例5已知过原点0的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y 轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点0在同一直线上.(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.探点二分类讨论思想例6 ABC的顶点A(5, 1), B(1,1), C(2,m)，若ABC为直角三角形，求m的值.【典型例题】题型一求直线的方程例1写出下列点斜式直线方程: 倾斜角是30°. 例2倾斜角是135°，在y 轴上的截距是3的直线方程是变式训练：1.已知直线I 过点P(3,4)，它的倾斜角是直线 y x 1的两倍，则直线I 的方程为2.已知直线I 在y 轴上的截距为一3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线I 的方程. 3•将直线y x 73 1绕它上面一点（1,丽）沿逆时针方向旋转 15 °得到的直线方程3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程(1)经过点 A(2,5)，斜率是 4;( 2)经过点B(3, 1)，题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题例3已知直线h的方程为y 2x 3,l2的方程为y 4x 2，直线l与l i平行且与*在y轴上的截距相同，求直线I的方程。
探究一直线恒过定点或者象限问题例4.已知直线y kx 3k 1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当3 x 3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围探究二直线平移例5已知直线I: y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为______________________322直线的两点式方程【知识点归纳】1•直线的两点式方程:2•直线的截距式方程:【典型例题】题型一求直线方程例1已知△ ABC 顶点为A(2,8), B( 4,0), C(6,0)，求过点B 且将△ ABC 面积平分的直线方程变式训练：1•已知点A （ 1，2）、B （ 3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是（）.A . 4x 2y 5B . 4x 2y 5C . x 2y 5D . x 2y 52•已知2x 1 3% 4,2x 2 3y 2 4，则过点A （x 「yj, B （X 2, y ?）的直线l 的方程是（）A. 2x 3y 4B. 2x 3y 0C. 3x 2y 4D. 3x 2y 0例2求过点P(3,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程 变式训练：已知直线l 过点(3, -1)，且与两轴围成一个等腰直角三角形，则 I 的方程为题型二直线方程的应用例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买 行李票，行李费用 y (元)是行李重量 x (千克)的一次函数，其图象如图所示. (1)求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围；(2) 如果某旅客携带了 75千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例4已知直线I 过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为 4的三角形，求直线I 的方程.x (千克)探究二有关光的反射例5光线从点A (- 3, 4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B (-2,6),求射入y轴后的反射线的方程•变式训练：已知点A( 3,8)、B(2,2)，点P是x轴上的点，求当Ap | PB最小时的点P的坐标.323直线的一般式方程【知识点归纳】1直线的一般式:2 •直线平行与垂直的条件:【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是一1，经过点A (8, - 2); (2)经过点B(4, 2)，平行于x轴；23(3)在x轴和y轴上的截距分别是—，—3; (4)经过两点P ( 3,- 2)、F2 (5,24).题型二直线不同形式之间的转化例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点A( 5,6), B( 4,8).题型三直线一般式方程的性质例3直线方程Ax By C 0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质？(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)只与y轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)是y轴所在直线.变式训练：已知直线l :5ax 5y a 3 0 。
1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围。
题型四运用直线平行垂直求参数例4已知直线11: x my 2m 2 0 , l2: mx y 1 m 0 ,问m为何值时: （1）l1 l2；（2）l1//l2.变式训练 : （1）求经过点A（3,2）且与直线4x （2）求经过点B（3,0）且与直线2x y 5 y 2 0 平行的直线方程；0 垂直的直线方程题型五综合运用例5已知直线l i： x my 6 0 , I2 : （m 2）x 3y 2m 0,求m的值，使得:（1）l i 和12相交；（2）l i丄l2；（3）I i//l2；（4）l i 和12重合.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系 . 如果相交，求出交点坐标 . （1）直线 l 1: 2 x － 3y+10=0 , l 2: 3x+4y －2=0； （2）直线 l 1: nx y n 1, l 2: ny x 2n. 题型 二 三条直线交同一点2.试求直线 l 1 :x y 2 0关于直线 l 2 :3x 例 2 若三条直线 2x 3y 8 0,x y 1 0，kx y 2 0相交于一点，则 k 的值等于 变式训练1.设三条直线： x 2y 1,2x ky 3,3kx 4y 5交于一点，求 k 的值y 3 0对称的直线I 的方程.题型三求过交点的直线问题例3 求经过两条直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点，且平行于直线4x 3y 7 0的直线方程.变式训练：已知直线l i： 2x-3y+10=0 , I2： 3x+4y-2=0.求经过l i和12的交点，且与直线13： 3x- 2y+4=0 垂直的直线l 的方程.题型四两点间距离公式应用例4已知点A( 2, 1), B(a,3)且| AB | 5，则a的值为变式训练：在直线2x y 0上求一点P，使它到点M (5,8)的距离为5,并求直线PM的方程.题型五三角形的判定例5已知点A(1,2), B(3,4), C(5,0)，判断ABC的类型.探究一直线恒过定点问题ii / i6例6已知直线(a 2)y (3a 1)x 1.求证：无论a为何值时直线总经过第一象限变式训练：若直线I: y = kx .. 3与直线2x+ 3y- 6= 0的交点位于第一象限，求直线I的倾斜角的取值范围•探究二利用对称性求最值问题(和最小，差最大)例7直线2x- y-4=0上有一点P,求它与两定点A(4, - 1), B(3, 4)的距离之差的最大值变式训练：已知M(1,0)、N( 1,0)，点P为直线2x y 1 0上的动点.求PM2 PN 2的最小值，及取最小值时点P的坐标.333点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离:拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例1已知点(a,2) (a 0)到直线l:x y 3 0的距离为1,贝U a=()A. 2B. —C. 2 1D. 2 1题型二利用点到直线距离求直线的方程1 10例2求过直线11： y -X 10和l2：3x y 0的交点并且与原点相距为1的直线I的方程.3 3变式训练：直线I过点P(1 , 2),且M(2, 3), N(4,—5)到I的距离相等，则直线I的方程是题型三利用平行直线间的距离求参数例3若两平行直线3x 2y 1 0和6x ay c 0之间的距离为乙〕3，求的值.13 a变式训练：两平行直线5x 12y 3 0与10x 24y 5 0间的距离是( )A. AB.丄C.丄D.513132626题型四利用平行直线间的距离求直线的方程例4与直线丨：5x 12y 6 0平行且与I的距离2的直线方程是题型五点、直线间的距离的综合运用例5已知点P到两个定点M (—1, 0)、N (1 , 0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1 •求直线PN的方程.探究一与直线有关的对称问题例6 △ ABC中，A（3,3）, B（2, 2）, C（ 7,1）.求/ A的平分线AD所在直线的方程变式训练：1.与直线2x 3y 6 0关于点（1，-1 ）对称的直线方程是2．求点A（2，2）关于直线2x 4y 9 0的对称点坐标探究二与距离有关的最值问题例7在函数y 4x2的图象上求一点P,使P到直线y 4x 5的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线l：3x y 1 0上求一点P,使得:（1）P到A（4，1 ）和B（0，4）的距离之差最大。