专题27 以形助数
——借助图形思考
例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.
例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为12
900=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为
4
900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150900=6h 到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040，解得⎩
⎨⎧-==900225b k 所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.
例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,
28,
,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴958≥y 由29-4y=z ≥0得y ≤4
29，∵y 为整数，∴y=7 从而z=1，x=8，n=7，m=5.
故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=28
25×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.
例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生
的集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人
数，如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外
两科优秀而数学不优秀的学生人数.
则⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.
故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误.
【能力训练】
1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一
盘，就在相应的两个点之间连一条线段.
2.4.4小时
3.24
4.32﹪ 提示：依照图中数据计算：0000000
01002.108.155.12442.10298.1526
5.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5：1
6.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.
7.C
8.D 提示：若A,C 种同一种植物，则A,C 有4×1种栽种法，B,D 都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C 种不同的植物，则有4×3种载法，B,D 都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.
9.15人 提示：如图，用A,B 两个圆分别表示参加
数学竞赛的男、女生人数，用C,D 两个圆分别表示
参加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男
生人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人
数是80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x 人，
则只参加数学竞赛的女生数为（80-x ）人，只参加英语竞赛的女生人数为（120-x ）人，由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.
10.从A 城出发到B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城。
因为从A 城到O 城所需最短时间为24h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h ，所以，此类路线所需最短时间为24+22=46h.（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城，这时从A 城到达
B城，必定经过C,D,E城或F,G,H城，所需时间至少为47h.。