圆锥曲线60道题一．解答题（共60小题）1．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．2．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．3．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求直线AC的方程．4．已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．5．在平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q 同时满足：①++=；②||=||=||；③∥．（1）求顶点A的轨迹E的方程；（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点A的轨迹E的相交弦分别为A1B1，A2B2，设弦A1B1，A2B2的中点分别为M，N．（ⅰ）求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x 轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T 为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．9．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为．（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足=t+（1﹣t）（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．11．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M 点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．12．已知动点P与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是1：2，记动点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设A是曲线E上的一个点，直线AF交曲线E于另一点B，以AB为边作一个平行四边形，顶点A，B，C，D都在轨迹E上，判断平行四边形ABCD能否为菱形，并说明理由；（Ⅲ）当平行四边形ABCD的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．13．已知O为坐标原点，直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（1）求点P的坐标；（2）求证：直线AB恒过定点M；的最小值．（3）在（2）的条件下过M向x轴做垂线，垂足为N，求S四边形OANB14．已知圆B：（x+）2+y2=16，定点A（，0），P是圆周上任一点，线段AP的垂直平分线与BP交于点Q．（I）求点Q的轨迹C的方程；（II）直线l过点A且与x轴不重合，直线l交曲线C于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆B交于D，E两点，求四边形MDNE面积的取值范围．15．已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）过点C（﹣2，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1，l2分别与轨迹Γ相交于点A，B，直线AB与x轴交于点M，过点M作直线l交轨迹Γ于G，H两点，求△OGH面积的最大值．16．一青蛙从点A0（x0，y0）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A i（x i，y i）（i∈N*），（如图所示，A0（x0，y0）坐标以已知条件为准），S n表示青蛙从点A0到点A n所经过的路程．（1）若点A0（x0，y0）为抛物线y2=2px（p＞0）准线上一点，点A1，A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经过该抛物线的焦点，证明S2=3p．（2）若点A n（x n，y n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x2所表示的曲线上，并且，试写出（不需证明）；（3）若点A n（x n，y n）要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且A0（0，4），求S n的表达式．17．已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．（I）求抛物线方程和N点坐标；（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出直线l′的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．18．⊙F1：（x+1）2+y2=9．⊙F2：（x﹣1）2+y2=1．动圆M与⊙F1内切，与⊙F2外切．（1）求M点的轨迹C的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与曲线C交于A，B两点，（O为原点）满足|+|=|﹣|．对满足条件的动直线l中取两条直线l1，l2，其交点是N，当||=时，求l1，l2的夹角．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），当|﹣|＜时，求实数t取值范围．20．已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率．（1）求圆C及椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．21．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．22．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．23．已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若，求λ1+λ2的值．24．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ（λ＞0）．（Ⅰ）求点C的轨迹Г；（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．25．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1（m∈R）交椭圆E于A、B两点，试探究：点M（3，0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．27．已知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．28．若曲线C1：+=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过点P（2，﹣1），曲线C2：x2=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切线切点分别为B，C．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）求S的最大值．△ABC29．已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC 的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．30．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围．31．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．32．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．33．已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．34．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．35．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．36．设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为，求a的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m 和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．37．已知双曲线C：的一个焦点是F2（2，0），且．（1）求双曲线C的方程；（2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x﹣1）2﹣y2=3上．（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．38．已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．39．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．过点（m，0）作圆的切线l交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）将△OAB的面积表示为m的函数，并求出面积的最大值．40．已知直线y=﹣x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈时，求椭圆的长轴长的最大值．41．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与直线x﹣y+1=0相切，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点F重合，且离心率为，点M（a2，0）．（1）求抛物线C1与椭圆C2的方程；（2）若在椭圆C2上存在两点A，B使得=λ（λ∈[﹣2，﹣1]），求|+|的最小值．42．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点（m，0）（0＜m＜a）的直线与椭圆交于A，B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上是否存在点Q，使得△ABQ为等边三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．43．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（Ⅰ）“抛物线三角形”一定是三角形（提示：在答题卡上作答）；（Ⅱ）若抛物线m：y=a（x﹣2）2+b（a＞0，b＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，求a，b满足的关系式；（Ⅲ）如图，△OAB是抛物线n：y=﹣x2+tx（t＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．44．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．45．设抛物线过定点A（﹣1，0），且以直线x=1为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=﹣平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围．46．已知双曲线C1：x2﹣y2=m（m＞0）与椭圆有公共焦点F1F2，点是它们的一个公共点．（1）求C1，C2的方程；（2）过点F2且互相垂直的直线l1，l2与圆M：x2+（y+1）2=4分别相交于点A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此时直线l1的方程．47．如图，P是圆x2+y2=4上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点N（3，0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形（A，B意义同（2）），求实数a的取值范围．48．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．49．已知椭圆C：的离心率为，点Q（）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上异于其顶点的动点，O为坐标原点，过椭圆右焦点F2作OP平行线交椭圆C于A、B两点．（i）试探究|OP|2和|AB|的比值是否为一个常数？若是，求出这个常数，若不是，请说明理由．（ii）记△PF2A的面积为S1，△OF2B的面积为S2，令S=S1+S2，求证：S．50．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l3：x=4交于P；①求证：直线PA、PF、PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．51．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣2上，且，现过A作C 的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．52．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．53．如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，离心率为e，其右准线l：x=4，且过点P（1，3e）．（1）求椭圆的方程：（2）连接B1F2并延长交椭圆于点M，连接B2M并延长交右准线l于点N，求点N的坐标：（3）是否存在非零常数λ，μ，使得对椭圆上任一点Q，总有且AB=μ（其中点A在x轴上，点B在y轴上），若存在，求出常数λ，μ的值；若不存在，请说明理由．54．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．55．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．56．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF1⊥F1F2，PF2=3PF1，过P，F1，F2三点的圆C2截y轴的线段长为6，过点F2做直线PF2的垂线交直线l：x=4于点Q（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C1只有一个交点；（Ⅲ）若过直线l：x=4上任意一点A引圆C2的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．57．已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．58．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．59．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣=0时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．60．已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B 是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：=+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．圆锥曲线60道题参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【分析】（1）根据△MF1F2是直角三角形，即可OF1=OM，分类讨论即可即可求得a的值方程；（2）将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，以及向量的数量积即可求出m2（a2+1）=2a2；（3）将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及直线的斜率公式，求得2m2﹣4k2=1．由弦长公式及点到直线的距离公式，求得丨AB丨及d，根据三角形的面积公式，化简即可求得△AOB的面积为定值【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，∴S=|AB|d==•==1△OAB【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，考查向量加法，考查计算能力，是高考试卷中的压轴题，属于难题．2．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【分析】（1）由已知可得，且，联立可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由斜率公式、根与系数的关系及k AB+k AC=﹣1，可得m=﹣2k﹣1，得到直线方程y=kx+m=kx﹣2k﹣1，由直线系方程可得直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）直线l AE：x+y﹣1=0，求得|AE|，设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，联立后由判别式等于0求得t值，求出两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离，再求出△AEP面积S的不同取值范围，然后对面积分类分析△AEP的个数．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算能力，属难题．3．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求直线AC的方程．【分析】（I）设点M为（x1，y1），由F2是抛物线y2=4x的焦点，知F2（1，0）；|MF2|=，由抛物线定义知x1+1=，即x1=；由M是C1与C2的交点，y12=4x1，由此能求出椭圆C1的方程．（II）直线BD的方程为：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，由，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0．由点A、C在椭圆C1上，知（﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＞0，由此能导出直线AC的方程．【解答】解：（I）设点M为（x1，y1），∵F2是抛物线y2=4x的焦点，∴F2（1，0）；又|MF2|=，由抛物线定义知x1+1=，即x1=；由M是C1与C2的交点，∴y12=4x1，即y1=±，这里取y1=；又点M（，）在C1上，∴+=1，且b2=a2﹣1，∴9a4﹣37a2+4=0，∴（舍去），∴a2=4，b2=3；∴椭圆C1的方程为：（II）∵直线BD的方程为：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，不妨设直线AC的方程为x+y=m，则∴消去y，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0；∵点A、C在椭圆C1上，∴（﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＞0，即m2＜7，∴﹣＜m＜；设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=（﹣x1+m）+（﹣x2+m）=﹣（x1+x2）+2m=﹣+2m=，∴AC的中点坐标为，由菱形ABCD知，点也在直线BD：7x﹣7y+1=0上，即7×﹣7×+1=0，∴m=﹣1，由m=﹣1∈知：直线AC的方程为：x+y=﹣1，即x+y+1=0．【点评】本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．4．已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．【分析】（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．﹣﹣（3分）（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴，解得k2＞3﹣﹣（5分）（i）∵∵MP⊥MQ，∴，故得3（1﹣m2）+k2（m2﹣4m﹣5）=0对任意的k2＞3恒成立，∴．∴当m=﹣1时，MP⊥MQ．当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知结论也成立，综上，当m=﹣1时，MP⊥MQ．﹣﹣（8分）（ii ）由（i ）知，M （﹣1，0），当直线l 的斜率存在时，，M点到直线PQ 的距离为d ，则∴﹣﹣（10分）令k 2﹣3=t （t ＞0），则，因为所以﹣﹣（12分）当直线l 的斜率不存在时，﹣﹣（13分）综上可知S △MPQ ≥9，故S △MPQ 的最小值为9．﹣﹣（14分）【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．5．在平面直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为B （0，﹣1），C （0，1），平面内两点P 、Q 同时满足： ①++=；②||=||=||；③∥．（1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点A的轨迹E的相交弦分别为A1B1，A2B2，设弦A1B1，A2B2的中点分别为M，N．（ⅰ）求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由++=可得P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（），再由||=||=||，知Q是△ABC的外心，Q在x轴上，再由∥，可得Q（），结合||=||求得顶点A的轨迹E的方程；（2）F（，0）恰为的右焦点．当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为my=x﹣．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B的纵坐标得到和与积．（ⅰ）根据焦半径公式得|A1B1|、|A2B2|，代入四边形面积公式再由基本不等式求得四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；（ⅱ）根据中点坐标公式得M、N的坐标，得到直线MN的方程，化简整理令y=0解得x值，可得直线MN恒过定点；当直线l1，l2有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线MN即为x轴，过点（）．【解答】解：（1）由++=，得，∴P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（），由||=||=||，知Q是△ABC的外心，∴Q在x轴上，由∥，可得Q（），由||=||，得．化简整理得：（x≠0）；（2）F（，0）恰为的右焦点．①当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为my=x﹣．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．。