2020年广西南宁市中考数学模拟试题（三）一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠52．在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．4．下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形5．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3）B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）7．已知x是整数，当|x﹣5|取最小值时，x的值是（）A．6B．7C．8D．98．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平．小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（）A．B．C．D．9．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（）A．4B．5C．6D．710．若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣2B．1C．0D．311．如图，在△ABC中AB＝2，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点B′处，得到△AB′C′．若tan∠CB′C′＝，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．1012．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C 作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（）A．1B．C．2D．4二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2+tan60°＝．14．点P（a，b）是直线y＝x﹣2上一点，则代数式a2﹣2ab﹣1+b2的值为．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为．16．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E．动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按D→E→B→C的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PCD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则△ABC 的周长为．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．三．解答题（共8小题，共66分）19．计算：（1）（x﹣3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）；（2）解方程：＝．20．如图，海中有两个小岛C、D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距30海里，该渔船自西向东航行一段时间到达B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距75海里，又测得点B与小岛D相距30海里．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C、D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．21．某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：平均数中位数众数极差甲店706969b乙店70a6986⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为，中位数a＝，极差b ＝；（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝+x+b进行了探究，已知当x＝0时，y＝；当x＝2时，y＝1．探究过程如下，请补充完整：（1）k＝，b＝．（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质：；（3）若一次函数y2＝mx+1的图象与该函数有两个交点，则m的取值范围为：．23．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．24．已知抛物线y＝ax2﹣3ax+m与x轴交于A（﹣1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC＝5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC＝180°？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．25．求一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，可以先将左边（x2﹣2x﹣3）分解成（x﹣3）（x+1），该方程变为（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1；求一元三次方程x3﹣2x2﹣2x+4＝0也可以将左边（x3﹣2x2﹣2x+4）分解成（x﹣2）（x2﹣2），则该方程变为（x﹣2）（x2﹣2）＝0，从而求出该方程的解为：x1＝2，x2＝，x3＝﹣；这种利用分解因式将高次方程转化成一元一次方程和一元二次方程，从而求出其解的方法称为降次法．请根据材料，完成下列解答：（1）解方程：①x3﹣2x2﹣x+2＝0②x4+2x3﹣7x2﹣8x+12＝0（2）解决下面问题：①若关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝0的三个根可作为一个等腰三角形的三边长，求实数k的值；②若关于x的方程x4+2x3+（3+m）x2+（2+m）x+2m＝0有实根，若所有实根之积为﹣2，求所有实数根的平方和．26．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【分析】根据同位角的定义进行选择即可．【解答】解：∠1的同位角是∠3，故选：B．2．在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接化简二次根式，再利用有理数的定义判断得出答案．【解答】解：在，0，，，＝2，﹣1.414中，有理数有：，0，，﹣1.414共4个．故选：D．3．如图下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：A、图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A符合题意；B、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意；C、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；D、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意；故选：A．4．下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等平分进行判定即可得出结论．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确；综上所述，B符合题意，故选：B．5．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据圆周角定理即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选：B．6．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3）B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．【解答】解：如图，连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：C．7．已知x是整数，当|x﹣5|取最小值时，x的值是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据绝对值的意义，由与5最接近的整数是7，可得结论．【解答】解：∵＜5＜，∴7＜5＜8，且与5最接近的整数是7，∴当|x﹣5|取最小值时，x的值是7，故选：B．8．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平．小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，∴小明获胜的概率P＝＝；故选：B．9．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，整理，得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．故选：C．10．若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣2B．1C．0D．3【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【解答】解：解分式方程+＝2可得y＝，∵分式方程+＝2的解是非负实数，∴a≥﹣2且a≠2，∵y＝x2+（a﹣1）x+b，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴≥﹣1，解得a≤3，综上可知满足条件的a的值为﹣2，1，0，1，3，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣2+1+0+1+3＝1，故选：B．11．如图，在△ABC中AB＝2，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点B′处，得到△AB′C′．若tan∠CB′C′＝，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】作B′H⊥AB于H，如图，利用旋转的性质得∠AB′C′＝∠B，AB′＝AB＝2，再证明即∠CB′C′＝∠BAB′，根据正切的定义得tan∠HAB′＝＝tan∠CB′C′＝，设B′H＝4x，则AH＝3x，则AB′＝5x＝2，解得x＝，所以B′H＝，BH＝，然后利用勾股定理计算出BB′，从而得到BC的长．【解答】解：作B′H⊥AB于H，如图，∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转，∴∠AB′C′＝∠B，AB′＝AB＝2，∵∠AB′C＝∠B+∠BAB′，即∠AB′C′+∠CB′C′＝∠B+∠BAB′，∴∠CB′C′＝∠BAB′，在Rt△HAB′中，tan∠HAB′＝＝tan∠CB′C′＝，设B′H＝4x，则AH＝3x，∴AB′＝5x，即5x＝2，解得x＝，∴B′H＝，AH＝，∴BH＝2﹣＝，在Rt△BB′H中，BB′＝＝4，而B′为BC的中点，∴BC＝2BB′＝8．故选：C．12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C 作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（）A．1B．C．2D．4【分析】由反比例k的几何意义可得S△OCE＝k，设D（x，），所以S△BOD＝﹣x，再由已知可得k＝﹣x，求得D（﹣k，﹣2），再将点D代入y＝x﹣1即可求k的值．【解答】解：由题意可求B（0，﹣1），∵直线y＝x﹣1与y1＝交于点C，∴S△OCE＝k，设D（x，），∴S△BOD＝×1×（﹣x）＝﹣x，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴k＝﹣x，∴k＝﹣x，∴D（﹣k，﹣2），∵D点在直线y＝x﹣1上，∴﹣2＝﹣k﹣1，∴k＝2，故选：C．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2+tan60°＝﹣1．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝1+2﹣﹣4+＝﹣1，故答案为：﹣114．点P（a，b）是直线y＝x﹣2上一点，则代数式a2﹣2ab﹣1+b2的值为3．【分析】先把P点坐标代入函数解析式，求得a﹣b的值，再将代数式转化成a﹣b的形式，整体代入计算便可．【解答】解：∵P（a，b）是直线y＝x﹣2上一点，∴b＝a﹣2，∴a﹣b＝2，∴原式＝（a﹣b）2﹣1＝22﹣1＝3，故答案为3．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为9．【分析】根据作图过程可得，CE是BD的垂直平分线，即CF⊥AB于点F，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可求得AF的长．【解答】解：根据作图过程可知：CE是BD的垂直平分线，∴CF⊥AB于点F，∴∠CFB＝90°∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴∠CBF＝60°，AB＝2BC＝12，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝3，∴AF＝AB﹣BF＝9．故答案为9．16．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接MN、PE，则PE⊥MN，在直角△MEF中利用三角函数即可求得∠MEF的度数，然后求得∠MEN的度数，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：连接MN、PE，则PE⊥MN，∵在直角△MEF中，MF＝MN＝，ME＝1，sin∠MEF＝＝＝，∴∠MEF＝60°，∴∠MEN＝120°，∴S阴影＝＝．故答案是：．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E．动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按D→E→B→C的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PCD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则△ABC 的周长为16．【分析】先由当t＝6秒时，S有最大值8，当t＝10秒时，S＝0，得出BC的值，进而根据t＝6时，S＝8，得出CD的值，从而可进一步求得DE和BE的值；然后证明△ADE ∽△ACB，利用相似三角形的性质可得AD和AE的值，从而△ABC的周长可求．【解答】解：∵当t＝6秒时，S有最大值8，当t＝10秒时，S＝0∴BC＝10﹣6＝4∵当t＝6时，S＝8∴×CD×4＝8∴CD＝4∵CD×DE＝2∴×4×DE＝2∴DE＝1∴BE＝6﹣1＝5∵DE⊥AC∴∠ADE＝90°∵∠ACB＝90°∴DE∥BC∴△ADE∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得：AD＝，AE＝∴AC＝+4＝，AB＝+5＝∴△ABC的周长为++4＝16故答案为：16．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，tan∠ABC＝，得出BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．△BDE【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，tan∠ABC＝，∴BC＝4，∴BM＝CM＝2，∵∠B＝∠B，∠AMB＝∠CGB＝90°，∴△AMB∽△CGB，∴，即，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵∠EDH＝∠CDG，∠DHE＝∠DGC＝90°，ED＝DC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．三．解答题（共8小题，共66分）19．计算：（1）（x﹣3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）；（2）解方程：＝．【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝x2﹣6xy+9y2﹣x2+9y2＝﹣6xy+18y2；（2）去分母得：2（2x+1）＝4，去括号得：4x+2＝4，移项合并得：4x＝2，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．20．如图，海中有两个小岛C、D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距30海里，该渔船自西向东航行一段时间到达B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距75海里，又测得点B与小岛D相距30海里．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C、D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝30，∠DAE＝45°，∴DE＝30×sin45°＝30，在Rt△BED中，BD＝30，∴sin∠ABD＝；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝30，BD＝30，∴BE＝，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝60，BF＝DE＝30，∴CF＝BC﹣BF＝45，在Rt△CDF中，CD＝，∴小岛C，D之间的距离为75nmile21．某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：平均数中位数众数极差甲店706969b乙店70a6986⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为12°，中位数a＝72，极差b ＝88；（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数，a的值，极差b的值；（2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；（3）根据题意和表格中的数据可以计算出该公司能评为“优秀销售员”的人数．【解答】解：（1）∵乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75，∴乙组数据中心C组中有11人，按照从小到大排列是：62，69，69，69，71，73，75，76，78，79，80，∴扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为：360°×＝12°，A组学生有30﹣11﹣30×（10%+20%+30%）＝1（人），B组有学生：30×30%＝9（人），∴中位数a是C组的第5个数和第6个数的中位数，即a＝（71+73）÷2＝72，∵样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件，乙的极差是86，∴极差b＝86+2＝88，故答案为：12°，72，88；（2）乙店门店的销售人员上月的业绩更好，理由：由表格可知，两个销售人员的平均数相同，众数相同，但是乙的中位数高于甲，说明乙店门店的销售人员上月的业绩更好；（3）600×＝180（人），答：该公司能评为“优秀销售员”的有180人．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝+x+b进行了探究，已知当x＝0时，y＝；当x＝2时，y＝1．探究过程如下，请补充完整：（1）k＝2，b＝﹣1．（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质：y随x值的增大而增大；（3）若一次函数y2＝mx+1的图象与该函数有两个交点，则m的取值范围为：＜m ＜．【分析】（1）将x＝0，y＝，x＝2，y＝1分别代入y＝+x+b即可求k与b的值；（2）画出图象，写出一条符合图象的性质即可；（3）当x≥2时，y＝x﹣，当x＜2时，y＝x+，通过观察图象可得＜m＜时，y2＝mx+1的图象与该函数有两个交点．【解答】解：（1）当x＝0，y＝时，＝+b，∴b＝﹣1；当x＝2，y＝1时，1＝+2﹣1，∴k＝2，故答案为2，﹣1；（2）如图：y随x值的增大而增大，故答案为y随x值的增大而增大；（3）由（1）可知，y＝+x﹣1，当x≥2时，y＝x﹣，当x＜2时，y＝x+，∴＜m＜时，y2＝mx+1的图象与该函数有两个交点，故答案为＜m＜．23．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【分析】（1）根据生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本；（2）根据题意和（1）中的结果可以得到w与a的函数关系式；（3）要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质可以得到总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【解答】解：（1）设生产A种型号的手写板需要投入成本a元，生产B种型号的手写板需要投入成本b元，，得，即生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；（2）∵该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，生产了A型号手写板a个，∴生产B型号的手写板的数量为：＝（个），∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，即w关于a的函数关系式为w＝﹣100a+50000；（3）∵要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，∴a≥×2，∴a≥100，∵w＝﹣100a+50000，∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝40000，＝50，答：总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．24．已知抛物线y＝ax2﹣3ax+m与x轴交于A（﹣1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC＝5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC＝180°？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点B坐标，由三角形面积公式可求OC长，可得点C坐标，由待定系数法可求解；（2）作点D关于直线BC的对称点D'（，），连接AD'交BC于点Q，由两点距离公式可求解；（3）连接AC，延长PC交x轴于E，设E（m，0）．由△ECA∽△EBC，得到EC2＝EA •EB，可得方程m2+4＝（﹣1﹣m）（4﹣m），求出点E坐标，再求出直线PC的解析式，利用方程组求交点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为：y＝ax2﹣3ax+m，∴对称轴为x＝＝，且点A（﹣1，0），∴点B（4，0），∴AB＝5，∵S△ABC＝5．∴×AB×OC＝5，∴OC＝2，∴点C（0，2）∴设抛物线解析式y＝a（x+1）（x﹣4），且过点（0，2）∴2＝﹣4a，∴a＝﹣∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图，作点D关于直线BC的对称点D'（，2），连接AD'交BC于点Q，∵点A（﹣1，0），D'（，2），∴AD'＝＝，∴QA+QD的最小值为；（3）如图，连接AC，延长PC交x轴于E，设E（m，0）．∵∠PCA+∠ABC＝180°，∠PCA+∠ECA＝180°，∴∠ECA＝∠EBC，又∵∠CEA＝∠CEB，∴△ECA∽△EBC，∴EC2＝EA•EB，∴m2+4＝（﹣1﹣m）（4﹣m），∴m＝﹣，∴点E（﹣，0），∵点C（0，2），点E（﹣，0），∴直线EC解析式为：y＝x+2，联立方程组可得：∴或∴点P（，）25．求一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，可以先将左边（x2﹣2x﹣3）分解成（x﹣3）（x+1），该方程变为（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1；求一元三次方程x3﹣2x2﹣2x+4＝0也可以将左边（x3﹣2x2﹣2x+4）分解成（x﹣2）（x2﹣2），则该方程变为（x﹣2）（x2﹣2）＝0，从而求出该方程的解为：x1＝2，x2＝，x3＝﹣；这种利用分解因式将高次方程转化成一元一次方程和一元二次方程，从而求出其解的方法称为降次法．请根据材料，完成下列解答：（1）解方程：①x3﹣2x2﹣x+2＝0②x4+2x3﹣7x2﹣8x+12＝0（2）解决下面问题：①若关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝0的三个根可作为一个等腰三角形的三边长，求实数k的值；②若关于x的方程x4+2x3+（3+m）x2+（2+m）x+2m＝0有实根，若所有实根之积为﹣2，求所有实数根的平方和．【分析】（1）①将式子变形为x3﹣2x2﹣x+2＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）＝0即可求解；②将式子变形为x4+2x3﹣7x2﹣8x+12＝（x+2）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）＝0即可求解；（2）①x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝（x﹣1）（x2﹣4x+k）＝0，则x2﹣4x+k＝0，则由△＝0可求k；②x4+2x3+（3+m）x2+（2+m）x+2m＝（x2+x+m）（x2+x+2）＝0，由根与系数的关系可求m＝﹣2，再由x12+x22+x32+x42＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x3+x4）2﹣2x3x4可求解．【解答】解：（1）①x3﹣2x2﹣x+2＝x2（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣1）＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝2或x＝1或x＝﹣1；②x4+2x3﹣7x2﹣8x+12＝（x2+x﹣2）（x2+x﹣6）＝（x+2）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2或x＝1或x＝﹣3或x＝2；（2）①x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝（x﹣1）（x2﹣4x+k）＝0，∴x＝1或x2﹣4x+k＝0，∵方程的解是等腰三角形的三边长，∴一条边长为1，当1为等腰三角形的腰长时，则x2﹣4x+k＝0的一个解是1，∴k＝3，此时x2﹣4x+3＝0的两个根为x＝1或x＝3，∴三角形的三条边长为1，1，3，不成立；当1为等腰三角形的底边时，x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴16﹣4k＝0，∴k＝4；②x4+2x3+（3+m）x2+（2+m）x+2m＝（x2+x）2+（2+m）（x2+x）+2m＝（x2+x+m）（x2+x+2）＝0，∴x2+x+m＝0或x2+x+2＝0，∵x2+x+2＝0中△＝1﹣8＜0，∴x2+x+2＝0无解，∵所有实根之积为﹣2，∴x2+x+m＝0有两个实数根，∴m＝﹣2，∴x2+x﹣2＝0时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，x2+x+2＝0时，x3+x4＝﹣1，x3x4＝2，∴x12+x22+x32+x42＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x3+x4）2﹣2x3x4＝1+4+1﹣4＝2．26．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．【分析】（1）如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．求出GH，证明GH＝AH＝BG即可解决问题．（2）连接CD，DE，根据等腰直角三角形的性质得到CD＝BD，∠CDB＝90°，根据余角的性质得到∠FBD＝∠DCE，由全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，推出△BFD ≌△CDE，由全等三角形的性质得到DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，证得△DEF是等腰直角三角形，即可得到结论．（3）如图3中，结论：＝．连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．首先证明△BCF，△AEF是等腰直角三角形，设EF＝AE＝m，求出BD（用m 表示）即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠F AB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．。