专题05三角形的再认识
专题解读】在平而几何中，三角形是一种最简单、最基本的图形.我们知道，任何多边形都可分割成若干个三角形.由此可见三角形的基础性：借助三角形的学习我们可以了解到多边形的相关知识.所以说, 对三角形的认识，既是几何学习的入门，也是进一步学习其他几何知识的基础.为此，我们有必要牢固掌握三角形的有关特征.
思维索引
例1.在厶ABC中，ZBAC=a°t BD、CE是、ABC的高，BD、CE所在直线交于点0 （点O与4、B、
<?都不重合），根据题意画出图形，并求ZDOE的度数.（用含a的代数式表示）
例2.如图1, 一副三角板的两个直角重叠在一起，Z4 = 30° , ZC=45° , ACOD固泄不动，Z\AOB 绕着0点顺时针旋转a。
（0°<«<180°>
（1） ______________________________________________________________ 若AAOB绕着0点旋转图2的位置，若ZBOD=60。
,则上4OC = _______________________________________ :
（2）若0°<a<90°,在旋转的过程中ZBOD+ZAOC的值会发生变化吗？若不变，请求岀这个左值；
（3）若90°<a<180°,问题（2）中的结论还成立吗？说明理由：
（4）将△403绕点O逆时针旋转a度（0<a<180°）,问当a为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）.
例3.如图1, D为直线ABk一点，AADC=\2^ .将一把直角三角尺的直角顶点放在点D处，边DE任射线上，另一边DF在直线A3的下方，英中ZDFE=30° .
（1）将图1中的三角尺绕点D逆时针旋转至图2,使一边DE在的内部，且恰好平分ZBDC,
则ZCDF的度数为 _______ :
（2）将图1中的三角尺绕点D按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第
秒时，边EF恰好与直线DC垂直：在第 _______ 秒时，直线DF恰好平分ZADC.
（3）将图1中的三角尺绕点D逆时针族转，使DF在ZADC的内部，请探究ZADE与ZFDC之间的数量关系式.并说明理由.
素养提升
1.等腰三角形的两边长分别为
2和4,则该等腰三角形的周长为（）
A. 8 或10
B. 8 C・ 10 D・ 6 或12
2.两根木棒长分別为5cm和7cm,要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶
数，则组成方法有（）
A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 6种
3・给岀下列4 个条件：①+ ®ZA=ZB=2ZCx③④ZA：ZB：
2
ZC =1： 2： 3,其中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
4.若a、b、c是△AEC*的三边的长，则化简| a —b —c | | b—c—a | + | a + b —c|的结果是（）
A・ a+b+c B・—a + 3b—c C・a + b~c D・2b~2c
5・如图，/\ABC的角平分线3D、4E相交于F, ZC=9O°, EG"AB、且3G丄EG于G,下列结论：①
ZBEG = 2ZDBA；②平分ZABGx③乙CDB = ZGBD；④Z DE4 = - Z BGE•其中正确的结论是
2
（）
第5题图第10题图
6.已知三角形的三边长为整数，且周长为12cm,则符合条件的三角形的个数是 ___________ 个.
7・任厶ABC中，AD. CE分别是的髙，且SD=2, CE=4,贝＞jAB:BC= __________________ ・
8.一个三角形的两边长为8^0 10,则它的最短边a的取值范围是__________ :它的最长边b的取值范用
是 ______ ・
A. @@
B.②④
C. ®®④
D. ©®③④
9.已知在△SBC中，ZA=45° ,高线BD和髙线CE所在的直线交于点H,则ZBHC的度数
是 ___________ ・
10.阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点巾，当0、4、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如
图）.当AABC内的点的个数增加时，若其它条件不度，三角形内互不重叠的小三角形的个数情
11・如图，小明欲从A地去3地，有三条路可走，①4-3 ©A-D-B③4-C-B.
（1） _____________________________________________________________________________ 在没有其他因素的情况下，我们可以肯泄小明会走路线①，理由是______________________________________ :
（2）小明是不会走路线③，因为路线③路程最长，即AC+BOAD+BD,你能通过推理加以说明吗?
第11题图
12.在△ABC中，AB=AC. P是上任意一点.
（1）如图①，若P是3（?边上任意一点，PF丄AB于点F, PE丄M于点E, 3D为厶4眈的髙线，
请探求PE, PF与ED之间的数疑关系：
（2）如图②，若P是眈的延长线上一点，PF丄加于点F, PE丄AC于点E,仞是心眈的髙线，请探
求PE, PF与仞之间的数量关系.
图①图②
图② 图③
13. 在中，ZACB=90° , 3D 是的角平分线，P 是射线AC h 任意一点（不与4、D 、C 三点重合），过点P 作PQ 丄&瓦 垂足为0交直线反？于E ・
（1） 如图①，当点P 在线段AC 上时，说明ZPDE=ZPED.
（2） 作ZCPQ 的角平分线交直线于点F,则PF 与ED 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由. 14. 如图①，将一副直角三角板放在同一条直线加上，其中ZENM=30° , Z£CD=45°・
（1） 将图①中的三角尺ECD 沿SB 的方向平移至图②的位置，使得点E 与点N 重合，CD 与MN 相交 于点F,则ZCFN= __________ :
（2） 将图①中的三角尺ECD 绕点E 按顺时针方向旋转，使一边ED 在ZMEN 的内部，如图③，且ED 恰好平分上MEN, CD 与MN 相交于点F,求ZCFN 的度数；
（3） 将图①中的三角尺ECD 绕点E 按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在 第秒时，边仞恰好与边MN 平行：在第 _________ 秒时，直线CD 恰好与直线MN 垂直.
专题05三角形的再认识
思维索引】
例 1. ZDOE=a 。
或 180°-«°・
例 2・(1)120°： (2)ZBOD+ZAOC=180。
：
(3)
结论还成立; (4)a=45。
、60\ 90。
、105。
、135。
、150° 例 3・(1)120°： (2)®9； ②3 或 21；
(3)ZAD£+ZFDC=3O°：上FDC-ZADE= 30。
・
素养提升】 1. C ； 2・ B ； 3・ B ； 4・ B ： 5・ C ： 6・ 3； 7・ 1:2； 8. 2<“弐,10引<18； 9. 135。
或 45。
：
10. 2017； 11. (1)两点之间线段最短：
(2)略： 12・⑴BD=PE+PF ；
(2)PF-PE=CD ； 13. (1)略： (2)PF//BD ； PF 丄BD ；
14. ⑴105。
： (2)150°： ⑶①5或15时平行： ②11或
23时垂直：
D
A E C N B。