无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记 lif ( 作 m x ) 0( 或 lif ( m x ) 0 ).
x x 0
x
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
定理3
lif( m x ) A f( x ) A ( x ),
x x 0
1
1 22n1
从 ln i 而 m 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 2
例4 当 x1时 ,
求 li(m 1x)1 (x2)1 (x4) (1x2n). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原 li ( 式 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A. (夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
8、两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
limsin1; 某过程
(2) li(m 11)xe x x
1
lim (1x)x e
n
1 x
li(1 m x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
lim
lim
n
பைடு நூலகம்1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 1 0 .)
1 x
n
例5 求 ln i m 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 .
解 设 u n 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 . ( 2 1 2 ) 2 2 ( 1 ) ( 3 1 3 ) 2 3 ( 1 ) ( n 1 n ) 2 n (1 ) .
n1 2n ln i m 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 1 2.
例6 求下列极限
arctaxn (1) lim
x0ln1(sinx)
lim x x0 sinx
=1.
1xsix n1
(2)lim x 0
ex2
1
lxim0 x2sixn2x
1. 2
ex2 cosx
(3)
lim x0 ln1(
x2)
lx i0m ln e1 x2 (x 12)l1n 1c (x ox 2)s
lim(x)0
xx0
定理4(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
6、极限的运算
定理1 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则
(1) lim[ f (x) g(x)] A B;
(2) lim[ f (x) g(x)] A B;
lim f(x)A x
X
A
X
(3).""定义
0,0,使0 当 xx0时 , 恒f有 (x)A. lim f(x)A
x x0
y
A
yf(x)
A
A
o x0 x 0 x0
x
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
f ( x 1) x
2( x 1) x
f(x)x11 1. x 1x
例3 求 ln i m 11 2 12 1 2 12 1 2n .
解 设 u n 11 2 12 1 2 12 1 2n
则 1 1 2 u n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n
x0
1
lim(1) e.
某过程
9、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.极限的运算; g.两个重要极限及两个收敛准则; h.用定义验证.
二、例题选讲
例1 求函 yl数 o(x g 1)(1 6x2)的定 . 义域
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
定 : x l x 0 i f ( x ) m 理 A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
5、无穷小的性质
1t
1t
1x 1x
令 1 u1, 即x 1 ,
1x u
1u
代入上式得
f(1)f(u 1 )2 (u 1 ),即 f(1)f(x 1 ) 2 (x 1 ),
1u u u
1 x x x
解联立方程组
f
(
x
)
f ( x 1) 2x x
f
(
x
)
f( 1 ) 2 1 x 1 x
f( 1 ) 1 x
解 16x20, x10, x11,
x 4
x
1
x
2
1 x 2 及 2 x 4 ,
即 (1 ,2 ) (2 ,4 ).
例2 设 f(x)f(x1)2x,其x中 0,x1.
x 求 f(x).
解 利用函数表示法的无关特性
令t x1, x
即x 1 , 1t
代入原方程得
f( 1)f(t) 2, 即 f(x)f( 1) 2,
定理2
(3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
lim f[(x)] 令u(x)
xx0
alim (x)
xx0
limf(u)
ua
7、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
函数极限的习题课
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4、极限的定义
(1)."N"定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 .
ln i m xna
a 2 a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
(2)."X"定义
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .