解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
♦类型一含一个拐点的平行线问题
1.如图，AB // EF , CD丄EF于点D.若/ ABC = 40 °则/ BCD的度数为（）
A. 140 °
B. 130 °
C. 120 °
D. 110
2.如图，已知AB // DE，/ ABC = 70 ° / CDE = 140 ° 则/ BCD 的度数为（）
A. 20 °
B. 30 °
C. 40 °
D. 70
3•如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ + Z 2+Z 3 = °
4.（2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的
一个顶点在纸条的另一边上，则/ 1的度数是________ .
5.如图，AB //
CD，分别探讨下面四个图形中/ 从所得到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】
图①
C D
图③
第2题图
APC与/ PAB，/ PCD的关系，请你
第1题图
♦类型二含两个或多个拐点的平行线问题
6.如图，AB // CD，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为（
）
A.Z 1 + / 2-/ 3
B./ 1 + / 3—/ 2
C. 180 °+/ 3—/ 1 — / 2
D. / 2+/ 3 — / 1 —180
第7题图
7.如图，直线11 / 12,/ a=/ 伏 / 1 = 40 ° 则/ 2= ____________ &如图，AB
//CD，试解决下列问题:
(1)如图①，/ 1 + / 2= _________ ;
(2)如图②，/ 1 + / 2+/ 3 = __________ ;
⑶如图③，/ 1 + / 2+/ 3 +/ 4 = ___________ ;
(4)如图④，试探究/ 1 + / 2 + / 3+/ 4+- + / n= _______________
[3②
9.⑴如图①，AB II CD，则/ 2+Z 4与/ 1 + Z 3+Z 5有何关系？请说明理由;
(2)如图②，AB I CD，试问/ 2 +Z 4+Z 6与/ 1 + Z 3+Z 5+Z 7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论.
参考答案与解析
图
-1
1.B 解析：过点 C 向右作 CG // AB,由题意可得 AB // EF // CG , B = Z BCG ，/ GCD =90° 则/ BCD = 40° + 90° 130°故选 B.
2. B 解析：如图，过点 C 作 CF // DE ,贝U AB // DE // CF BCF = Z ABC = 70 ° / CDE + Z DCF = 180° •••/ DCF = 180°—/ CDE = 180° — 140° = 40° /-Z BCD = Z BCF -Z DCF = 70° — 40°= 30°•故选 B.
3. 360
4. 15 ° 解析：如图，过 A 点作 AB // a,/Z 1 = / 2. v a // b ,/ AB // b,/Z 3 =/ 4
5. 解:女口图①，过点 P 作 PF // AB ，贝U AB // PF // CD./Z FAB =Z APF , Z PCD = Z FPC , • Z APC = Z APF + Z FPC = Z PAB +Z PCD ;
如图②，过点 P 作 PF // AB ,贝 U AB // PF // CD./Z PAB+Z APF = 180° Z PCD + Z FPC =180° /.Z APC + Z PAB+Z PCD = 360°
如图③，过点 P 作 PF // AB,贝 U PF // AB// CD./.Z FPA +Z PAB = 180° Z FPA+Z APC + Z PCD = 180° ./Z PAB = Z APC+Z PCD ;
如图④，过点 P 作PF // AB ,贝U Z PCD ，/.Z PAB+Z APC = Z PCD.
6 . D 解析：如图，过点 E 作 EG // AB ,过点F 作FH // CD.v AB // CD , • AB // CD // EG// FH ，/・Z 1 = Z AEG ，/・Z GEF = Z 2—Z 1. v EG // FH , /Z EFH = 180° —Z GEF = 180° — (Z 2 — Z 1) = 180° —Z 2+Z 1, ./Z CFH =Z 3 — Z EFH =Z 3 — (180 ° — Z 2 +Z 1) =Z 3+Z 2—Z 1 — 180°. v FH // CD ，•/ Z 4 =Z CFH =Z 3 +Z 2 — Z 1 — 180°.故选 D.
=30°.v/ 2+Z 3 = 45° • Z 2 = 15° •/ 1 = 15°
PF // AB // CD./Z FPA=Z PAB, Z FPA +Z APC = 卜'
7. 140 解析：如图，延长 AE 交 12 于点 B.TI 1//I 2 , •••/ 3 =Z 1 = 40 ° vZ a=Z 3, • AB // CD.： / 2+Z 3 = 180° ° 2 = 180° — Z 3= 180° — 40°= 140°.
8. (1)180 ° (2)360 ° (3)540 ° (4)(n — 1) 180
解析：(1)如图①,•/ AB // CD , •••/ 1+Z 2= 180°
E 作直线 E
F 平行于 AB.TAB // CD ,二 AB // EF // CD ,二/ 1 + Z AEF
=180° / FEC +Z 3 = 180° •••/ 1 + Z 2+Z 3= 360°
(3)过点 E , F 作 EG , FH 平行于 AB.v AB // CD , • AB // EG // FH // CD 1 + Z AEG =180° , Z GEF + Z EFH = 180° Z HFC +Z 4= 180°, 1 + Z 2 + Z 3 +Z 4= 540°
⑷根据上述规律，显然作(n -2)条辅助线，运用(n — 1)次两条直线平行，同旁内角互补, 即可得到n 个角的和是(n — 1) • 180°.
9.解：(1) Z 2+Z 4=Z 1 + Z 3 +Z 5•理由如下：如图，分别过点 E , G , M 作EF // AB , GH // AB , MN // AB. T AB // CD , • AB // CD // EF // GH // MN 1 =Z BEF , Z FEG = Z EGH , Z HGM =Z GMN , Z CMN =Z 5, 2+Z 4=Z BEF + Z FEG + Z GMN +Z CMN =Z 1 + Z EGH +Z MGH +Z 5=Z 1 + Z 3+Z 5.
(2)Z 2 +Z 4+Z 6=Z 1 + Z 3+Z 5+Z 7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝 右的所有角的度数之和相等.
(2)如图②，过点。