高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为（ ） A.()()+∞-,10,1Y B.()()1,01,Y -∞- C.()()1,00,1Y - D.()()+∞-∞-,11,Y 2．0≠c是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为（ ）B.－1C.23D.－334.已知关于x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A.[0，916] B.[0,916）C.（916,0） D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,05.过点（2，1）的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为：( ) A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时，.b a b a +>+其中恒成立的不等式的序号是（ ）A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点，O 为原点，则OM 的长是（ ） A ．4 B ．C ．22D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为（ ）A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4 B ．2 C ．1 D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ，其中点Ａ坐标为（1，2），设抛物线焦点为Ｆ，则|FA |+|FB |=（ ）Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为(-1,2)，则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周，则ba 11+的最小值为______15．若曲线15422=++-a y a x的焦点为定点，则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3，则点M 的坐标为____________.三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx yl +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OA ⊥OB （O 为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．19．已知圆C 关于y 轴对称，经过抛物线x y 42=的焦点，且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2，求圆C 的方程.20. 平面内动点P （x ，y ）与两定点A （-2, 0）, B （2,0）连线的斜率之积等于-1/3，若点P 的轨迹为曲线E ，过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．（1）求曲线E 的方程； （2）求证：ACAD ⊥；（3）求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点，且58= （I ）求椭圆离心率e ；（II ）若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切，求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.（0，±3）; 16．（－5,25±）.三、17．解：由062322<--+-x x x x ，得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．（Ⅰ）椭圆方程为2212x y +=；（Ⅱ）见解析（Ⅲ）22λ-<<且0λ≠．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知离心率为22，可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(12M ，可求得21b =，22a =，进而求得椭圆的方程； （Ⅱ）由直线l 与圆2223x y +=相切，可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+，然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，进而求出=21y y 222212m k k -+，所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0，即结论得证；（Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当0m =时，点A 、B 关于原点对称；（ⅱ）当0m ≠时，点A 、B 不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：（Ⅰ）222c e a b c a ===+Q 离心率，222a b ∴= 222212x y b b∴+=椭圆方程为，将点(1M 代入，得21b =，22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）因为直线l 与圆2223x y +=相切，所以=222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r =222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0，故OA OB ⊥， （Ⅲ）由（Ⅱ）可得121222()212my y k x x m k +=++=+，由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r ，OP OQ λ=u u u r u u u r Q ，OA OB OQ λ∴+=u u u r u u u r u u u r（ⅰ）当0m =时，点A 、B 关于原点对称，则0λ= 此时不构成平行四边形，不合题意．（ⅱ）当0m ≠时，点A 、B 不关于原点对称，则0λ≠，由OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r ，得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩Q 点Q 在椭圆上，∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++，化简，得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠Q ，∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-Q ， ∴由0∆>，得2212k m +>． ②将①、②两式，得2224m m λ>0m ≠Q ，24λ∴<，则22λ-<<且0λ≠．综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F 221r a =+∴①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a =②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．（1）223144x y +=(2)x ≠±；（2）略；（3）1. 【解析】试题分析：（1）根据题意可分别求出连线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k ，再由条件斜率之积为13-列出方程，进行化简整理可得曲线E 的方程，注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x =+，2PB y k x =-，所以()12223y y x x x ?-贡+-，化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； （2）若要证AB AC ^，只要证0AB AC?u u u r u u u r ，再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1my x =+，()()1122,,,C x y D x y ，联立直线与椭圆的方程消去x ，可得关于y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ，由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ，则()12122623x x m y y m +=+-=-+，()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+，又()112,AC x y =+u u u r ，()222,AD x y =+u u u r ，所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y u u u r u u u r⋅=+++=++++=，从而可以证明AB AC ^；（3）根据题意可知1211122ACDS AQ y y △=⋅-=⨯=又23m =+0m =时，ACD △的面积最大，最大面积为1. 试题解析：（1）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得：1223y y x x ⋅=--+，化简得223144x y +=， 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分（说明：不写2x ≠±的扣1分） （2）CD 斜率不为0，所以可设CD 方程为1+=x my ，与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C ， 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ，. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ，所以ACAD ⊥ 8分（3）ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y ， 10分当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分[考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ，于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- Θ点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴ma m a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m 当0=m 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时，由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：（I ）），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=-知),(),,(0b x b c -==. cb x b cx 2020,0,==-∴⊥Θ.设PQ AP y x P 58),,(11=由，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上，所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e （II ）由（I ），a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切，所以a a =+2|321|，解得a =2, ∴c=1，b=3，所求椭圆方程为13422=+y x。