第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。

2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 xx x f x ∆+∆→∆)(lim00。

4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。

5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p xy ==7、求下列函数的导函数：⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f x x f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。

9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。

10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。

11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。

12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何R x x ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。

若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。

13、证明：若)(0x f '存在，则 )(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆14、证明：若函数f 在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K ，0)()(>''-+b f a f ，则在(a,b)内至少有一点ξ，使K f =)(ξ。

15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，而且端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低在悬点下10米处，求铁链与支柱所成的角。

16、在曲线3x y =上取一点P ，过点P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍。

§5.2 求导法则1、求下列函数在指定点的导数：（1）设523)(34++=x x x f ，求),1(),0(f f '' （2）设xx x f cos )(=，求),(),0(πf f ''（3）设x x f +=1)(，求 ),4(),1(),0(f f f '''2、求下列函数的导数： xx xy x x y xx y xxy xxy x x x y x e y x xy xx xm mx y nx x y xx x y x y xn cos si n 1)12(;arctan )1()11(;l n 1l n 1)10(;cos 1)9(;tan )8();1)(13)(1()7(;cos )6(;l og)5(;22)4(;)3(;11)2(;23)1(23233222++=+=-+=-==--+===+++=+=++-=+=3、求下列函数的导函数：;si n si n arcsi n1)26(;)()()()25(;)si n si n(si n )24());n si n(si n(si )23(;)22(;2si n )21(;)20(;)19(;2)18(;)17();arcsi n(si n)16(;11cot )15(;)(arctan )14(;1arcsi n )13(;)(si n )12(;1si n)11(;4cos)10(;)cos (si n )9(;1111l n)8();1l n()7();1l g()6();l n(si n )5();l n(l n)4(;)11()3(;)1()2(;1)1(2221sinsin122332233223232221xb a b x a bay a x a x a x y xx xy x y x x x y x ey xy x y y e y x y xx arc y x y xy xy xy x y x x y xx x x y xx y x xy x y x y xxy xy x x y nxa n a a xxxxx ++-=---===++=======-+====+==+=-++--+=++=++===-+=-=-=-+4、对下列各函数计算),1(),1(),(-'+''x f x f x f 3;33)1()3(;)1()2(;)()1(xx f xx f xx f =-=+=5、已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：))(()()4());(()()3());(()()2());(()()1(x xg g x f a xg g x f a g x g x f a g x g x f ==+=+=6、设f 为可导函数，证明：若x=1时有)()(22x f dxd x f dxd =。

则必有0)1(='f 或f （1）=1。

7、定义双曲函数如下： 双曲正弦函数shx=2xx ee --；双曲余弦函数chx=2xx ee -+；双曲正切函数thx=chxshx ；双曲余切函数cothx=shxchx 。

证明：（1）)('shx =chx ； （2）shx chx =')(； （3）xch thx 21)(='； （4）xsh x 21)(coth -='。

8、求下列函数的导数：（1）y=x sh 3； （2）y=ch （shx ）； （3）y=ln （chx ）； （4）y=arctan （thx ）。

9、以x sh 1-，x ch 1-，x th 1-，x 1coth -分别表示各双曲函数的反函数。

试求下列函数的导数：（1）y=x sh 1-； （2）y=x ch 1-； （3）y=x th 1-； （4）y=x 1coth -；（5）y=x th 1--x 1coth-； （6）y=)(tan 1x sh-。

§5.3 参变量函数的导数1、求下列由参变量方程所确定的导数dxdy ：（1）⎩⎨⎧==t y t x 44sin ,cos 在t=0，2π处； （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=t t y t t x 11,1在t>0处。

2、设⎩⎨⎧-=-=).cos 1(),sin (t a y t t a x 求2|π=t dxdy ，π=t dxdy |。

3、设双曲方程x = 1 - 2t ，y = t - 2t ，求它在下列点处的切线方程与法线方程：（1）t=1； （2）t=22。

4、证明曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x上任一点的法线到原点距离等于a 。

5、证明：圆r=)0(sin 2>a a θ上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。

6、求心形线r=)cos 1(θ+a 的切线与切点向径之间的夹角。

§5.4 高阶导数1、求下列函数在指定点的高阶导数：（1）f （x ）=954323--+x x x ，求)1(),1(),1()4(f f f '''''；（2）f （x ）=21xx +，求).1(),1(),0(-''''''f f f 。

2、设函数f 在点x=1处二阶可导，证明：若0)1(,0)1(=''='f f ，则在x=1处有)()(2222x f dxd x f dxd =。

3、求下列函数的高阶导数：（1）f （x ）=xlnx ，求)(x f ''； （2）f （x ）=2xe -，求)(xf '''；（3）f （x ）=ln （1+x ），求)()5(x f； （4）f （x ）=x e x 3，求)()10(x f。

4、设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数；（1）y=f （lnx ）； （2）y=+∈N n x f n ),(； （3）y=f （f （x ））。

5、求下列函数的n 阶导数：（1）y=lnx ； （2）y=)1,0(≠>a a a x ；（3）y=)1(1x x -； （4）y=xx ln ；（5）f （x ）=xxn-1； （6）y=b a bx eax,(sin 均为实数）。

6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数22dxy d ：（1）⎩⎨⎧==;sin ,cos 33t a y t a x （2）⎩⎨⎧==.sin ,cos t e y t e x tt 7、研究函数f （x ）=||3x 在x=0处的各阶导数。

8、设函数y=f （x ）在点x 二阶可导，且0)(≠'x f 。

若f （x ）存在反函数x=)(1y f -，试用)(),(x f x f '''以及)(x f '''表示)()(1y f'''-。

9、设y=arctanx 。

（1）证明它满足方程02)1(2='+''+y x y x ； （2）求0)(|=x n y 。

10、设y=arcsinx（1）证明它满足方程)0(0)12()1()(2)1()2(2≥=-+--++n y n y n y x n n n ； （2）求0)(|=x n y 。

11、证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,0,)(21x x e x f x在x=0处n 阶可导且0)0()(=n f，其中n 为任意正整数。

§5.5 微分1、若x=1，而Δx=0.1，0.01。

问对于y=2x ，Δy 与dy 之差分别是多少？2、求下列函数微分： （1）y =432312x x x x +-+； （2）y = xlnx – x ；（3）y =x x 2cos 2； （4）y =21xx -； （5）y =bx e ax sin ； （6）y =21arcsin x -。