课后作业（二十）
一、选择题
1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3 D.56
π 3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1，3]
C ．[－3，1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4．过点(－4，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )
A ．5x ＋12y ＋20＝0
B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0
C ．5x －12y ＋20＝0
D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0
5．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM
→＝0，则y x
＝( ) A.33 B.33或－33 C. 3 D.3或－ 3
6．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题
7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．
8．过点(0，1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．
9．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．
三、解答题
10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．
11．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段圆弧？为什么？ 12．已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0.
(1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；
(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2
≤1， 又∵r ＝2，∴0＜d ＜r .
∴直线与圆相交但直线不过圆心．
【答案】 C
2．
【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1
＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56
π. 【答案】 D
3．
【解析】 由题意知，圆心为(a ，0)，半径r ＝ 2.
若直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离小于或等于半径，即|a －0＋1|2
≤ 2. ∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1.
【答案】 C
4．
【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，
由|AB |＝8知，圆心(－1，2)到直线l 的距离d ＝3.
当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，
即kx －y ＋4k ＝0.
则有|3k －2|k 2＋1
＝3， ∴k ＝－512
. 此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.
【答案】 B
5．
【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．
设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1
＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 【答案】 D
6．
【解析】 由题意直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1，2)，
所以a －b －3＝0.
当点M (a ，b )到圆心距离最小时，切线长最短．
|MC |＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝2a 2－8a ＋26，
∴a ＝2时最小．
此时b ＝－1，切线长等于4.
【答案】 C
二、填空题
7．【解析】 ∵圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)，
∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.
【答案】 x ＋y －3＝0
8．过点(0，1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．
【解析】 当点(0，1)点为弦AB 的中点时，|AB |的长最小，且易求得最小值为2 3.
【答案】 2 3
9．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1，3)，
故设PQ 方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.
由PQ 与圆O 相切得，
|3－k |k 2＋1
＝2，即k 2＋6k －7＝0. 解得k ＝1或k ＝－7.
【答案】 1或－7
三、解答题
10．
【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l 与圆C 相切，
则有|4＋2a |a 2＋1
＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，
得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |
a 2＋1
，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.
解得a ＝－7或a ＝－1.
故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.
11．
【解】 (1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1
， 因为|m |≤12
(m 2＋1)， ∴|k |＝|m |m 2＋1≤12
，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是[－12，12
]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12
. 圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.
圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2
. 由|k |≤12，得d ≥45
＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3
. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段圆弧． 12．
【解】 (1)圆的方程化为(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4
， 故有37－4m 4＞0，解得m ＜374
. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 消去y ，得x 2＋(3－x 2)2＋x －6×3－x 2
＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①
∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解． 故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.
∴m 的取值范围是(8，374
)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，②
由(1)及根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275
.③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，
∴y 1y 2＝3－x 12×3－x 22＝14
[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入上式，得y 1y 2＝m ＋125
，④ 将③④代入②得x 1x 2＋y 1y 2＝
4m －275＋m ＋125
＝0， 解得m ＝3.
代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m ＝3.。