课时作业38 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0,所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B,当sin x <0时显然不成立；对选项C,x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |,一定成立；对选项D,因为x 2＋1≥1,所以0<1x 2＋1≤1.故选C.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2]解析:∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立,∴2x ＋y ≤12,∴2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．已知a ＋b ＝t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．2 5解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a ＋b )24＝t 24,当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．∵ab 的最大值为2,∴t 24＝2,t 2＝8.又t ＝a ＋b >0,∴t ＝8＝2 2.4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x,则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( D ) A.12 B.43 C ．－1D ．0解析:f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0,当且仅当x ＝1x ,即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3,所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.5．已知x ,y 为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,则x ＋y 的最大值是( C ) A ．3 B.72 C ．4D.92解析:∵x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝2＋y x ＋xy ≥2＋2＝4,∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0,∴1≤x ＋y ≤4,∴x ＋y 的最大值是4,当且仅当x ＝y ＝2时取得．6．(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,则实数t 的取值范围是( B )A ．(－∞,－8)∪(3,＋∞)B ．(－8,3)C ．(－∞,－8)D ．(3,＋∞)解析:∵x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,可得3y ＋2x ＝1,∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2x ＝13＋6x y ＋6yx ≥13＋26x y ·6y x＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ,∴t 2＋5t ＋1<25,解得－8<t <3.7．若对于任意的x >0,不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≥15 B ．a >15 C ．a <15D ．a ≤15解析:由x >0,x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3,令t ＝x ＋1x ,则t ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时,t 取得最小值 2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15,所以对于任意的x >0,不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则a ≥15.二、填空题8．已知a >0,则(a －1)(4a －1)a 的最小值为－1. 解析:(a －1)(4a －1)a ＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a . ∵a >0,∴4a －5＋1a ≥24a ·1a －5＝－1,当且仅当4a ＝1a ,即a ＝12时取等号,∴(a －1)(4a －1)a的最小值为－1. 9．若x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则x ＋2y 的最小值是3. 解析:因为x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则2y ＝7－xx ＋2.则x ＋2y ＝x ＋7－x x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2－3≥2(x ＋2)·9x ＋2－3＝3,当且仅当x ＝1时取等号．因此其最小值是3.10．某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *),则当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值是8万元．解析:每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而x >0,故yx ≤18－225＝8,当且仅当x ＝5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元．三、解答题11．(河北唐山模拟)已知x ,y ∈(0,＋∞),x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解:(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2,当且仅当x ＝y ＝1时,等号成立, 所以1x ＋1y 的最小值为2. (2)不存在．理由如下: 因为x 2＋y 2≥2xy ,所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ,y ∈(0,＋∞),所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4, 因此不存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道,如图．设矩形温室的室内长为x (单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位:m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． 解:(1)由题设,得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916,x ∈(8,450)． (2)因为8<x <450, 所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x ＝240,当且仅当x ＝60时等号成立,从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为676 m 2.13．(海淀质监)当0<m <12时,若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立,则实数k 的取值范围为( D )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]解析:因为0<m <12,所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝18,当且仅当2m ＝1－2m ,即m ＝14时取等号,所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8,又1m ＋21－2m ≥k 2－2k恒成立,所以k 2－2k －8≤0,所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.14．(湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2 017＝4 034,则1a 9＋9a 2 009的最小值为4.解析:由等差数列的前n 项和公式, 得S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)2＝4 034, 则a 1＋a 2 017＝4.由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4,所以1a 9＋9a 2 009＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 9＋9×4a 2 009 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 9＋a 2 009a 9＋9(a 9＋a 2 009)a 2 009 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2 009a 9×9a 9a 2 009＋10＝4,当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(合肥模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增,且ac ≤4,则a c 2＋4＋c a 2＋4的最小值为( B ) A ．0 B ．12 C ．14D ．1解析:因为函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增,所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋c ≥0在R 上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4,又ac ≤4,所以ac ＝4,又a >0,所以c >0,则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋c a 2＋ac ＝a c (c ＋a )＋c a (c ＋a )＝1c －1c ＋a ＋1a －1c ＋a ＝1a ＋1c －2c ＋a≥21ac －22ac ＝1－12＝12,当且仅当a ＝c ＝2时等号成立,故选B.16．(天津模拟)已知x ,y 为正实数,则2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为52.解析:∵x ,y 为正实数,则2xx ＋2y ＋x ＋y x＝2x x ＋2y ＋y x＋1＝21＋2y x＋y x ＋1,令t ＝yx ,则t >0, ∴2x x ＋2y ＋x ＋y x ＝21＋2t ＋t ＋1 ＝112＋t ＋t ＋12＋12≥ 2112＋t·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋12＝52, 当且仅当t ＝12时取等号． ∴2x x ＋2y＋x ＋y x 的最小值为52.。