若John的期望支付相等？
p-(1-p) = -p+(1-p)→ p*=0.5 若p<0.5 John翻黑牌→预期Candy翻红牌 若p>0.5 John翻红牌→预期Candy翻黑牌
第二节 零和博弈的研究方法
二、扩展的最小最大方法 （二）John的思想与行动 2.John的行动 p=0.5，1-p=0.5，避免被Candy利用
得益矩阵
第一节 基本概念
一、二人零和博弈 1.案例 小鸭 石头 剪刀 布 石头 0，0 1，-1 -1，1 蟹 剪刀 -1，1 0，0 1，-1 1，-1 -1，1 0，0 布
第一节
基本概念
一、二人零和博弈 2.定义 博弈的两个参与人在每局博弈中的得 失之和总是为零 参与人的利益冲突，对抗程度高
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 （二）甲（行参与人）的思想与行动 2.甲的行动：追求自身利益最大 从每行min值中寻找max值→ 从最小中寻找最大，maximin→ 结果：选“中”行， maximin=3
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 乙猜： 若选“左” ：甲选“中”行，max=6 （三）乙（列参与人）的思想与行动 若选“中” ：甲选“下”行，max=5 1.乙的思想 若选“右” ：甲选“中”行，max=3 对手甲（行参与人）的选择使乙获得 最小支付——挖墙脚，利益对抗 潜台词：使甲获得最大支付
用最小最大方法寻找纳什均衡
甲的支付单矩阵 乙 不可行！ 原因： 石头 剪刀 Maximin≠minimax 其他方法？ 0 1 石头 -1 0 甲 剪刀 1 -1 布
布
-1 1 0
第二节 零和博弈的研究方法
二、扩展的最小最大方法 （一）案例：翻牌游戏——John的支付单 矩阵 p-混合：John以p的概率 翻红牌，以（1-p）的概 Candy 率翻黑牌 红牌 黑牌 红牌 p John 1 -1 黑牌（1-p） -1 1 p-混合 p-(1-p) -p+(1-p)
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 （三）乙（列参与人）的思想与行动 2.乙的行动：追求自身利益最大 从每列max值中寻找min值（甲的min 值，对乙有利）→ 从最大中寻找最小，minimax→ 结果：“右”列， minimax =3
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 （四）纳什均衡 Maximin=minimax=3 Maximin值与minimax值形成的策略 组合:（中，右）
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 （一）案例：抽象博弈——甲的支付 单矩阵 乙 左 中 右 5 3 2 上 6 4 3 甲 中 1 5 0 下
第二节 零和博弈的研究方法
一、最小最大方法 甲猜： 若选“上” ：乙则选“右”列， （二）甲（行参与人）的思想与行动 min=2 1.甲的思想 若选“中” ：乙则选“右”列， min=3 若选“下” ：乙则选“右”列， 对手乙（列参与人）的选择使甲获得 min=0 最小支付——挖墙脚，利益对抗
零 猜硬币者 反面
特征：每局双 方得失之和等 于零；无纯策 略纳什均衡
抛硬币者 正面 反面
1，-1
-1，1
-1，1
1，-1
齐威王田忌赛马
齐 威 王
上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
上 中 下 3，-3 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1
我活
你死
第一节
基本概念
一、二人零和博弈 3.引申：二人常和博弈 （1）案例：兄妹分遗产 兄 篡改遗嘱 不篡改 篡改遗嘱 50，50 100，0 妹 0，100 30，70 不篡改
第一节
基本概念
一、二人零和博弈 3.引申：二人常和博弈 （2）定义 博弈的两个参与人在每局博弈中的得 失之和为某一个常数
第一节
基本概念
四、零和博弈的表示方法：单矩阵 1.猜硬币者的支付单矩阵 抛硬币者 正面 反面 正面 1 -1 猜硬币者 -1 1 反面
第一节
基本概念
四、零和博弈的表示方法：单矩阵 2.抛硬币者的支付单矩阵 抛硬币者 正面 反面 正面 -1 1 猜硬币者 1 -1 反面
第二节 零和博弈的研究方法
二、扩展的最小最大方法 （二）John的思想与行动 1.John的思想：Candy总是选择使John获 取最小支付的策略 （1）“红”行： Candy选“黑”列， min=-1 （2）“黑”行： Candy选“红”列， min=-1 （3）p-混合行：Candy选“黑”列与选 “红”列使John的期望支付相等
( x1 x2 xn ) nX n
X X 0
第一节
基本概念
二、零和博弈与常和博弈的转换 2.常和博弈转换为零和博弈 G→G’ G’：G的归零博弈
第一节
基本概念
三、概念对应 1.零和博弈 对应常和博弈，高利益对抗程度 2.非零和博弈 对应变和博弈，参与人之间存在共 同利益
上 中 下 1，-1 3，-3 -1，1 1，-1 1，-1 1，-1
田 上 中 下 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 -1，1
忌
上 中 下 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 -1，1 1，-1
上 中 下 -1，1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1
上 中 下 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3
50，50 100，0
0，100
30，70
第一节
基本概念
二、零和博弈与常和博弈的转换 1.偏零因子 G——n人常和博弈 X——每局的支付总和，常数 X=x1+x1+…+xn X/n——常和博弈的支付的偏零因子
第一节
基本概念
二、零和博弈与常和博弈的转换 2.常和博弈转换为零和博弈
X X X ( x1 ) ( x2 ) ( xn ) n n n