机械能守恒定律及其应用一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关． (2)重力做功不引起物体机械能的变化． 2．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大．(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即W G ＝－(E p2－E p1)＝E p1－E p2＝－ΔE p . (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关． 3．弹性势能(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能．(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W ＝－ΔE p . 二、机械能守恒定律及其应用1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能． 2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变． (2)表达式：mgh 1＋12m v 12＝mgh 2＋12m v 22.3．守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功． ■判一判 记一记(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( ) (2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．( ) (3)弹簧弹力做正功时，弹性势能增加．( ) (4)物体速度增大时，其机械能可能在减小．( ) (5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．( ) (6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．( )(7)物体只发生动能和重力势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．( ) (8)做曲线运动的物体机械能可能守恒．( )例I :对机械能守恒的理解及判断1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒．(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒．1．[机械能守恒的理解](2019·河南洛阳模拟)关于机械能守恒，下列说法正确的是(A) A．做自由落体运动的物体，机械能一定守恒B．人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒C．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒D．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒2．关于机械能守恒，下列说法中正确的是(D)A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少3．[机械能守恒的判断](多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(CD)A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒B．图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒C．图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，物体A加速下落，物体B加速上升过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒4．(多选)如图6所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(BD)A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，B机械能守恒C．丙图中，斜面光滑，物体在推力F作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒6．如图5所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m 的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是(D)A．杆对小球A做负功B．小球A的机械能守恒C．杆对小球B做正功D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m例II :单个物体机械能守恒的应用1．机械能守恒的三种表达式对比2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选取研究对象——物体．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒． (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(E k1＋E p1＝Ek2＋E p2、ΔE k ＝－ΔE p )进行求解．5．如图，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2.一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点．6．[不含弹簧的单个物体的机械能问题] 如图所示，光滑的小圆弧轨道半径为r ，光滑的大圆弧轨道半径为4r ，小球质量为m (可视为质点)，小圆弧与大圆弧的圆心O 1、O 2在同一竖线上，两圆弧的最低点重合，两圆弧轨道固定在同一竖直平面内．小球从大圆弧轨道上与O 2等高处由静止释放，小球通过小圆弧轨道最高点时对轨道的压力的大小为( B )A ．2mgB ．3mgC ．4mgD ．5mg7．[含有弹簧的单个物体的机械能问题] (2019·河北衡水高三调研)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( B )A ．圆环的机械能守恒B ．弹簧弹性势能变化了3mgLC ．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D ．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变例III :多个物体机械能守恒的应用多个物体机械能守恒问题根据物体间的关联方式，常见“轻绳连接”和“轻杆连接”两种类型． 类型一：“轻绳连接”的多物体系统 1．常见情景2．三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等． (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒． 8．(多选)(2019·福建泉州高三质检)如图，跨过光滑轻质小定滑轮的轻绳一端系一质量为m 的小球，另一端系一质量为2m 的重物，小球套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮与杆的距离为d .现将小球从与滑轮等高的A 处由静止释放，下滑过程中经过B 点，A 、B 两点间距离也为d ，重力加速度为g ，则小球( ABD )A ．刚释放时的加速度为gB ．过B 处后还能继续下滑d3C ．在B 处的速度大小为(22－1)gdD ．减少的机械能等于重物增加的机械能 类型二：“轻杆连接”的多物体系统 1．常见情景2．三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒． 9．(2019·湖南十校联考)如图所示，半径为R 的光滑圆环竖直放置，直径MN 沿竖直方向，环上套有两个小球A 和B ，A 、B 之间用一长为3R 的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，已知A 的质量为m ，重力加速度为g .(1)若B 球质量也为m ，求此时杆对B 球的弹力大小；(2)若B 球的质量为3m ，由静止释放轻杆，求B 球由初始位置到达N 点的过程中，轻杆对B 球所做的功. 10．[“轻杆连接”的多物体系统] (多选)如图所示，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( BD)A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为 2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg 11．[“轻绳连接”的多物体系统] 如图所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1>m 2.开始时m 1恰在碗口右端水平直径A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离x ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.答案：(1)(2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2)R (2)22＋121．“链条”“液柱”类的物体在运动过程中往往发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理．2．“链条”“液柱”类物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，故整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解．12．如图所示，有一条长为L 、质量为m 的均匀金属链条，一半在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，以斜面顶点为重力势能零点，求：(1)开始和链条刚好从右侧全部滑出斜面时其重力势能各是多大． (2)此过程中重力势能减少了多少．[答案] (1)－18mgL (1＋sin θ) －12mgL (2)18mgL (3－sin θ)13．如图所示，一条长为L 的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x 0，已知重力加速度为g ，L ＜BC ，∠BCE ＝α，试用x 0、x 、L 、g 、α表示斜面上链条长为x 时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台上且x ＞x 0)．[答案]g L(x 2－x 02)sin α 1．如图所示，粗细均匀、两端开口的U 形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( A )A. 18gh B. 16gh C.14gh D.12gh2．一根质量为m 、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a 所示．若将一个质量也为m 的小球分别拴在链条左端和右端，如图b 、图c 所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a 、v b 、v c ，则关于v a 、v b 、v c 的关系，下列判断中正确的是( )A ．v a ＝v b ＝v cB ．v a ＜v b ＜v cC ．v c ＞v a ＞v bD ．v a ＞v b ＞v c答案：C二、非选择题11.质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球L3处有一个光滑固定轴O，如图10所示。