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(完整word版)相似三角形题型归纳

图1 图2三角形题型归纳一、线段比例问题(构造平行)1、下图中,E 为平行四边形 ABCD 勺对角线AC 上一点,AE : EC=1: 3, BE 的延长线交 CD 的 延长线于 G,交AD 于F ,求证:BF : FG=1: 2.2、已知:如图,在直角三角形 ABC 中,/ BAC= 90° AB= AC, D 为BC 的中点,E 为AC 上 一点,点G 在BE 上,连结DG 并延长交 AE 于F ,若/ FGE=45°, (1)求证:BD- BC=BG- BE (2)求证:AGL BE ( 3)若E 为AC 的中点,求 EF : FD 的值。

3、如图1,在Rt △ ABC 中,/ BAC=90 , AD L BC 于点D,点O 是AC 边上一点,连接 BO 交—AD 于F , OEL OB 交BC 边于点E. (1)求证:△ ABF ^A COE (2)当O 为AC 的中点,:丨 时,OFAC_ 0?如图2,求「的值;(3)当O 为AC 边中点,’时,请直接写出⑴的值.AF £B4、如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点 R 为DE 的中点,BR 分别 交AC , CD 于点P , Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);(2)求BP:PQ:QR .2、过厶ABC 的顶点C 任作一直线,与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E,求证:AE : ED=2AF FB.3、如果四边形 ABCD 勺对角线交于 0,过O 作直线 0G/ AB 交BC 于E ,交AD于F ,交CD 的延长线于 G,求证:0G=GE ・ GF.B 1二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)1、如下图,已知在厶ABC 中,AD 平分/ BAC,EM 是AD 的中垂线,交D E=BE ・ CE. BC 延长线于E.求证:4、已知如图,CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高,E 为BC 的中点,ED 的延长线交 CA 于F 。

求证:二匸亠-冷5、如图,在 Rt △ ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在CD 上, 于点 E.求证:(1 )△ AEB A CBIM (2) AS CM AC CD6、如图,BD CE 分别是△ ABC 的两边上的高,过 D 作DGLBC 于G 分别交 CE 及 BA 的延长 线于 F 、H 。

求证:(1) DG = BG- CQ (2) BG- CG= GF- GH7、已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线AC 上一点,过P 的直线与AD BC CD 的延长DH L BM 且与AC 的延长线交线、AB 的延长线分别相交于点 PE PHE 、F 、G H.求证:i '1:BBHBG& ( 1)如图1,点「在平行四边形 ABCD 勺对角线BD 上,一直线过点 P 分别交BA BC 的延长线于点Q, S,交 7 '■于点人丁 •求证:一 J 一 一; '' - - (2)如图2,图3,当点J 在三、构造相似辅助线一一A X 字型AB__CF_1、如图:△ ABC 中,D 是AB 上一点,AD=AC BC 边上的中线 AE 交CD 于F 。

求证:~AC~~DFBE _ BC 1---- ----------- 2、四边形ABCD 中, AC 为AB AD 的比例中项,且 AC 平分/ DAB 求证: DE CD 2平行四边形 ABCD 的对角线[或_匚的延长线上时 :--• --「'是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)图13、如图,过平行四边形ABCD勺顶点A的直线交BD于P,交CD于Q并交BC的延长线于R2求证:PQ PD PR一PB2四、相似类定值问题1、如图,在等边厶ABC中,M N分别是边AB, AC的中点,D为MN上任意一点,BD CD的延长线分别交AC AB于点E、F.1 1 _ 3求证:匸干一一上.1 : 1-- + ---=—2、已知,在△ ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a.求证:虫。

別7 ―3、如图,在△ ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC上。

A1 1 1---- 卜 - —----求证:_1匚 -」二一F DG B4、如图所示, ?ABCD中,AC与BD交于0点,E为AD延长线上一点, 0E交CD于F, E0延长5、一条直线截△ ABC的边BC CA AB(或它们的延长线)于点D E、F.求证:——■ ——• 二1EC EA FB 16、已知:P为?ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于,求证:「T五、证明线段相等1、在等腰A ABC , AB = AC 分别过点B 、C 作两腰的平行线,经过点 A 的直线与两平行线 分别交于点 D E,连接DC BE DC 与 AB 边相交于点 M BE 与AC 边相交于点 N ⑴如图1, 若DE//CB ,写出图中所有与 AM 相等的线段,并选取一条给出证明。

(2)如图2,若DE与CB 不平行,在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与 AM 相等的线段,并给出证明。

2、在面积为24的厶ABC 中,矩形 DEFG 勺边DE 在 AB 上运动,点F 、G 分别在BC AC 上。

(1 )若 AE = 8, DE = 2EF,求 GF 的长;(2)若/ ACB= 90°,如图 2,线段 DM EN 分别为△ ADG^D ^ BEF 的角平分线,求证: MG NF ; (3)请直接写出矩形 DEFG 的面积的最大值。

S2D 團1B3、在厶ABC 中,点D 从A 出发,在AB 边上以每秒一个单位的速度向 B 运动,同时点F 从B 出发,在BC 边上以相同的速度向 C 运动,过点D 作DEI BC 交 AC 于点E .运动时间为t 秒. (1 )若AB= 5, BO 6,当t 为何值时,四边形 DFCE 为平行四边形;(2)连接AF CD 若BD= DE 求证:/ BAF=Z BCD (3) AF 交DE 于点M 在DC 上取点N,使MN/ AC 连接FN六、对应练习题1、如下图,在△ ABC 中,D E 分别为BC 的三等分点,CM 为AB 上的中线,CM 分别交AE 、 AD 于 F 、G 贝U CF : FG : GM=5 3 :2①求证:N._N D -c F 一F B一②若AB= 5, BO 6, AC= 4,当MN k FN 时,请直接写出 t 的值.AD E2、已知:在四边形 ABCD 中, AD// BC, / BAC=Z D,点 E 、F 分别在 BC CD 上,且/ AEF = / ACD 试探究AE 与EF 之间的数量关系。

(1)如图1,若AB= BC = AC,则AE 与EF 之间的 数量关系是什么;(2)如图2,若AB= BC 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜 想,并加以证明;(3)如图3,若AB= kBC ,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜 想,并加以证明3、在 Rt △ ABC / C=90 , MF L AB 于点F , NE 丄AB 于点E. (1)特殊验证:如图 1,若AC=BC 且D 为AB 中点,求证: DM=DN AE=DF (2)拓展探究:若 AOBC.①如图2,若D 为AB 中点,(1)中的两个结论 有一个仍成立, “点M 在线段请指出并加以证明;②如图3,若BD=kAD 条件中“点 M 在BC 边上”改为CB 的延长线上”,其它条件不变,请探究AE 与DF 的数量关系并加以证明.D 为AB 边上一点,点 M N 分别在BC AC 边上,且 DM L DN 作4\\\L@37(1)⑵ (3)B A4、(1)如图1,在厶ABC 中,点D, E , Q 分别在 AB AC BC 上,且DE// BC AQ 交DE 于点 P.求证:兰二氏BQ QC在厶ABC 的边上,连接 的长;②如图3,求证(2) 如图,在△ ABC 中,/ BAG 90°,正方形DEFG 勺四个顶点 AG AF 分别交DE 于 M N 两点•①如图2,若AB=AC=直接写出 MN MN=DM ENC 为OB 上中点,D 为AO 上一点,连 AC BD 交于P 点.(1)如图1,AP当OA=OB 且D 为AO 中点时,求 的值; PC 5、已知线段OM OB 6、如图1, D 是厶ABC 的BC 边上的中点,过点D 的一条直线交 AC 于F ,交BA 的延长线于 AG// BC 交EF 于G 我们可以证明 EG- DC=ED AG 成立(不要求考生证明).(1)如图 若将图1中的过点D 的一条直线交 AC 于 F ,改为交CA 的延长线于F ,交BA 的延长线于 改为交BA 于E ,其它条件不变,则 EG- DC=ED AG 还成立吗?如果成立,请给出证明; 如果不成立,请说明理由;(2)根据图2,请你找出EG FD ED FG 四条线段之间的关 系,并给出证明;(3)如图3,若将图1中的过点D 的一条直线交 向延长线于F.其它条件不变,则( 2)得到的结论是否成立? E ,2, E, AC 于F ,改为交CA 的反图1 =-时,求 tan / BPC4图2图1 图27、已知:在厶 ABC 中AB= AC 点D 为BC 边的中点,点 F 是AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上,/ BAE=Z BDF 点M 在线段 DF 上,/ ABE=Z DBM ( 1)如图1,当/ABC= 45 °时,求证:AE= " MD (2)如图2,当/ ABC= 60°时,则线段 AE 、MD 之间的数量关系为: _______ 。

(3)在(2)的条件下延长 BM 到P ,使MP= BM 连接CP,若AB= 7, AE = 2 7 , 求 tan / ACP 的值.8、如图 13,梯形 ABCD 中, AD// BC / ABC= 2/BCD- 2a ,点 E 在 AD 上 ,点 F 在 DC 上 , 且 / BEFK A. (1)Z BEF= _______ 用含a 的代数式表示);(2)当AB= AD 时,猜想线段 EB EF 的数量关系,并证明你的猜想; (3)当AB^ AD 时,将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD的延长线上,且AE > AB, AB= mDE AD- nDW ,其他条件不变 (如图14),求EB/EF 的值(用 含m n 的代数式表示)。

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