A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB
结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD
结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略
1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。

彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证
d
c b a =，可先证得
f
e b a =（f
e ,是两条线段）然
后证
d
c f e =，这里把
f
e 叫做中间比。

①∠ABC =∠ADE ．求证：AB ·AE =AC ·AD
②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE ．
③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证：BP •PC=BM •CN
☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，
求证：AB •AF=AC •DF
D
C
A
②
ABCD
③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：
OC 2=OA.OE
☞四共线，看条件，其中一条
可
转
换；
Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。

求证：EF 2=BE •FC
②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ， 求
证：BP 2=PE·PF 。

③AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长
线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE ·CE.
☞两共线，上下比，过端平行条件边。

①AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD. ②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE. ③在△ABC 中，AB >AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上
一点，
AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.
④在△ABC 中，BF 交AD 于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC ⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中
线BM 交
AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.
⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，（m 、 n ＞0），取CF 的中点D ，
连结AD 并延长交BC 于E.（1）
的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有
怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。

☞彼相似，我条件，创造边角再相似
F
B
A C
D E
3
21E D
A
B
C
12
F
E
D B
C
A
P
D A B
C
E E A
B
C
D
F
①AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ，试说明△EBC ∽△DEB ②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．
③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上，且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD.。