vz
G 4
(R2
r
2)
(f)
讨论：（1）速度分布式(f)与用动量方程求得的(C3.4.6a)式相同；
（2）若考虑更一般的情况，沿斜直管（水平夹角为α）的流动， 并仍取管轴为z 轴，重力在z 方向也有分量：ρg sinα=常数， 重力在z 方向的分量的作用与压强梯度的作用相似。
C3.4.2 泊肃叶定律(2-1)
u G (R2 r2)
4
轴线最大速度为
um
G
4
R2
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-1) 已知: 粘度为μ的不可压缩流体在半径为R的水平直圆管中作定常流动。 求: 用柱坐标形式的N-S方程推导速度分布式。
解： 设轴向坐标为z ，建立柱坐标系(r,θ, z )如图
所示。设vr = vθ= 0，由连续性方程可得
1. 速度分布
u
1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
yb,
u U
,
C1
U b
b
2
dp dx
u U y 1 dp ( y2 by)
b 2 dx
平板剪切流
泊肃叶流
上式表示流场为平板剪切流与泊肃叶流叠加的结果。
无量纲形式为
u U
y b
B 1
y y b b
,
B b2 dp
2u x2
2u y 2
)
0 00
0
00
( v
t
u
v x
v
v y
)
fy
p y
( 2v
x2
2v y2
)
简化得：
p x
d2u dy2
,
p 0 y
第二式表明压强与y无关（截面上均布），仅是x的函数。 第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-3)
可得
d2u dy2
轴承固定, 而轴以线速度U=ωd /2运动, 带动润滑油作纯剪切流动, 即简单 库埃特流动。间隙内速度分布为
uU y b
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-2) (1) 作用在轴表面的粘性切应力为
w
du dy
U b
2 n 60
d 2
1 b
nd 60b
0.12 36000.08 60 0.03103
C3.4.2 泊肃叶流动
1. 圆管流量
Q
R
u2rdr
G
R (R2 r2 )rdr
0
2 0
泊肃叶定律
Q dp R4 GR4
8 dx 8
泊肃叶定律适用条件:不可压缩、牛顿流体、圆管、定常、层流
2. 平均速度
V
Q
R 2
G
8
R2
1 2
u
max
速度分布
r2
u
2V
1
R2
3. 沿程损失
上式中f 为任意函数，将上式代入(b)式得
0
g
cos
gcos
1 r
f
,
f
0
可见 f 仅是z 的函数，取截面平均压强，其梯度可写成 。ddpz由(c)式
1 r
r
(
r
vz r
)
1
dp dz
(d)
(d)式左边仅是r 的函数，右边仅是z 的函数，只有均等于常数才能相等,
dp/dz保持常数。(d)式积分两次可得
vz 0 z
解得vz = vz (r)；重力在z轴方向分量为零，N-S方程在柱坐标系中的分量式
为附录中C所列，化简后可得
r:
0
gsin
p r
(a)
θ:
0
gcos1 rFra bibliotekp(b)
z:
0
p z
[1r
r
(r
vz r
)]
(c)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-2)
由(a)式积分得
p g rsin f ( ,z)
dx
b 2 dx
沿y 方向线性分布
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-1)
已知: 中轴的直径为d = 80 mm，b = 0.06 mm，l = 30 mm，n = 3600转/分
润滑油的粘度系数为μ= 0.12 Pa·s 求: 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩Ts ；
(2) 轴功率。 解： (1)由于b << d 可将轴承间隙内的周向流动 简化为无限大平行平板间的流动。
不可压牛顿流体在半径为R的圆管中沿x 方向作定常层流流动。
1. 切应力分布
沿轴取半径为r的圆柱形控制体, 净流出流量为零, 忽略体积力
F
p x
dx
r2
2
rdx
0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2 上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
在轴线上τ＝0 ，在壁面上最大值
w
G 2
R
2. 速度分布
由牛顿粘性定律和斯托克斯公式
du G r dr 2
u G r2 C
4
由边界条件r＝R时，u＝0
，得
C
G
4
R2
速度分布式为
达西(H.Darcy)曾用铸铁、熟铁、玻璃管等各种管子作实验
测得 与Red和 的关系。
C3.6.1 达西公式(2-2)
C3.6.1 达西公式
达西公式
hf
=
λ
l d
V2
2g
粘性底层δ
流态
湍流 层流
水力光滑 δ>ε 水力粗糙 δ<ε
粗糙过渡区
达西摩擦因子
λ= f Re,ε
粗糙度
绝对粗糙度ε 相对粗糙度ε/d
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u 2u x x2 0
,
u u( y )
(4) 忽略重力:
fx 0 fy 0
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-2)
连续性方程
u v 0 x y
u v 0 v 0 x y
N-S方程
00
0
0
0
( u
t
u
u x
v
u y
)
f x
p x
(
hf
p
g
Gl
g
8 l
V
gR 2
C3.4.2 泊肃叶定律(2-2)
4. 泊肃叶定律的意义
Q GR4
8
(1) 泊肃叶定律解析式由哈根巴赫和纽曼（1859）分别用N-S方 程推出。哈根（1839）和泊肃叶（1840）分别用实验测得 Q
与G、R4成正比关系;
(2) 理论与实验结果一致肯定了牛顿粘性假设、N-S方程斯托克 斯假设和壁面不滑移假设。(分别称为牛顿粘性定律、壁面不 滑移条件);
vz
1 4
dp dz
r2
C1lnr
C2
(e)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-3)
当r =0时，管轴上的速度为有限值，由物理上可判断C1=0；当r =R时，
vz=0；可得
C2
1 4
dp dz
R2
代入(e)式可得速度分布式为
vz
1 4
dp dz
(r2
R2
)
令 G =－dp / dx,
u 2.5ln yu* 5.5
u*
式中 u w 称为壁面摩擦速度，y是离壁面的垂直距离.
2. 湍流幂次律
根据 Re 105左右的实验数据导出的
幂次形式分布律为
u
(1
r
1
)7
um
R
式中 um 为轴心最大速度。
C3.6.1 达西公式(2-1)
C3.6 圆管流动沿程损失 C3.6.1 达西公式
dy dx 2
切应力沿y方向为线性分布，
在壁面达最大值
w
b 2
dp dx
3. 流量
Q
b
b
udy
1
dp
y2 by
dy
b3
dp
0
0 2 dx
12 dx
4. 平均速度
Q b2 dp 2
V
b
12
dx
3 um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。
0 0
yxx
p zx
xy y zy
xz yz
uu vu
z wu
uv vv wv
uw
vw ww
压强
粘性应力
雷诺应力
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-3)
3. 圆管湍流切应力 圆管定常湍流满足斯托克斯公式
G τ τl τt 2 r
du uv
dy 上式中τl为粘性切应力，τt为雷诺应力。
1
dp dx
常数
积分得
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
边界条件： 1．速度分布
y = 0，u = 0，C2= 0
y
=
b，u
=
0，C1
1
2
dp dx
b