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评卷人
得分
二、填空题
5．已知集合方程 的一个法向量为 ，则此直线的倾斜角为________
7．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 __________．
8．已知 、 、 是任意实数，能够说明“若 ，则 ”是假命题的一个有序整数组 可以是________
13．已知函数 （ ）的反函数为 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 ________
14．欧拉公式 ，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列 的通项公式为 （ ），则数列 前2020项的乘积为________
15．用 表示函数 在闭区间 上的最大值，若正数 满足 ，则 的最大值为________
16．已知数列 的首项为 ，且满足 ，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数 ，则存在某个区间 ，使得 在 上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，四棱柱 的底面 是正方形， 为底面中心， 平面 ， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成的角 的大小.
A． B．
C． D．
3．函数 的图像按向量 平移后所得图像的函数解析式为 ，当函数 为奇函数时，向量 可以等于（）
A． B． C． D．
4．已知 为抛物线 的焦点， 、 、 为抛物线上三点，当 时，则存在横坐标 的点 、 、 有（）
A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个
第II卷（非选择题）
9．函数 （ ， 是虚数单位）的图象与直线 有且仅有一个交点，则实数 ________
10．直角坐标系 内有点 ，将四边形ABCD绕直线 旋转一周，所得到的几何体的体积为____
11．在 中， ， ， 为 的中点，则 ___________.
12．通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码 满足 ，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：若 ，则一定有 ，但 可能推出 和 重合，∴“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
利用分层抽样的概念，先求出 与 ，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.
又 ， ，
， ，
， ， ，
同理 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出 点为三角形的重心，属于中档题.
5．
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由集合 ， ，
则 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
设直线的一个方向向量为
由直线方程 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则
所以直线的一个方向向量为 ，
，设直线的倾斜角为 ，
由 ，
所以直线的倾斜角为： .
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
2020届上海市七宝中学高三三模数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、单选题
1．设 、 分别是直线 、 的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）
（1）解不等式： ，并解释其实际意义；
（2）若该工厂大有销售人员 （ ）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？
20．已知椭圆 的两焦点为 ， ，且椭圆上一点 ，满足 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，与 轴、 轴分别交于点 、 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
【详解】
∵高一：高二：高三为 ，
该直线方程为 ，即 ，
圆心 到直线的距离 ，又 ，
该圆的方程为 .
故选：C
【点睛】
本题考查分层抽样的概念，属于基础题
3．B
【解析】
【分析】
由左加右减上加下减的原则可确定函数 到 的路线，进而确定向量 .
【详解】
∵ ，
∴将函数 向左平移 个单位，
再向上平移2个单位可得到 为奇函数，
18．设 、 、 分别是△ 内角 、 、 所对的边， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且△ 的面积为 ，求△ 的周长.
19．受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为 （人）时，每天线下销售空调可达 （百台），当线上销售人数为 （人）（ ）时，每天线上销量达到 （百台）.
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）当△ 面积取得最大值，且点 在椭圆 上时，求 的值.
21．已知数列 满足：对任意 ，若 ，则 ，且 ，设 ，集合 中元素的最小值记为 ；集合 ，集合 中元素最小值记为 .
（1）对于数列： ，求 ， ；
（2）求证： ；
（3）求 的最大值.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
2．某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为 、 ，且直线 与以 为圆心的圆交于 、 两点，且 ，则圆 的方程为（）
∴ ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
首先判断出 为 的重心，根据重心坐标公式可得 ，结合基本不等式可得出 ，结合抛物线的定义化简得出 ，同理得出 ，进而得出结果.
【详解】
设 ，先证 ，
由 知， 为 的重心，