1 3
2x10, 6x2 0
解一个属于特征值 λ1 0的特征向量， A的属于特征值 λ1 0的所有特征向量为
kp1(k0为任意常 ). 数
当λ2 7时， 由(A λ2E )x0即方程组
6 3
2x10,解得基础解系 1x2 0
p
2
1 . 3
A的属于特征值 λ2 7的所有特征向量为 kp2(k0为任意常 ). 数
λ f(λ)
1λ21.
1 λ
其有复特征根 λ1 i,λ2i.
方程一般形式
Axx AxIx0 AIx0 AI 0
注意：上面用定义阐述了如何求解矩阵A的特征值 λ和特征向量X。但众所周知，高次多项式求根是 相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时， 矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏 感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数值 计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
定理
对于一阶矩阵A，如果 0 是A的
k重特征根，则A对应于 0 的线性无关特征向量的
个数不大于k，也就是说，(A0E)x0的基础解系
所含向量的个数不大于k.
定理 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
事实 方阵在复数域内总有特征根，但不一定有实
特征根。
例 矩阵 A 0 1的特征值。
1 0
A的特征多项式为
任 取 初 始 X（ 0） ， 向 X（ 0） 量 可 表 示 A的n成 个 线 性 无 的特征xi的 向线 量性组合，即
X（ 0） ＝1x1＋2x2＋＋nxn
那么， X（1）＝AX（0）＝A（1x1＋2x2＋ ＋nxn） ＝A1x1＋A2x2＋ ＋Anxn ＝11x1＋22x2＋ ＋nnxn
一般地有 X（k）＝AX（k－1）＝1k1x1＋2k2x2＋ ＋nknxn
➢数学中方阵的对角化、微分方程组的解等等
6.1 基本概念回顾
DEF6.1 设A是n阶方阵，如果数λ和一维非零向量χ 使关系式Aχ=λχ成立，则称数λ为方阵A的特征值， 非零向量χ称为A的属于特征值λ的特征向量.
推论：如果χ是矩阵A的属于特征值λ0的特征向量， 那么χ的任何一个非零倍数kχ也是A的属于λ的特征向 量。这是因为Aχ=λ0χ所以A(kχ)=λ 0(kχ)，这说明属 于同一个特征值的特征向量不是唯一的，但一个特征 向量只能属于一个特征值。
矩阵特征值和特征向量
Eigenvalues and Eigenvectors
问题的提出
矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用
➢数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛
取决于迭代矩阵的特征值大小
➢动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定
的
➢振动系统中，微分方程的特征值或者有限元
模型的矩阵系数和系统的固有频率直接相关
Ax λx可以写成齐次线性方程组 (A λE )x0
方程组有解 AλE0 即
a11λ a12
a21 a22λ
a1n a2n 0
an1
an2 annλ
上式是以 λ为未知量的一元n次方程，称为方阵A
的特征方程，AλE 是 λ的n次多项式，记为 f (λ )
称为方阵A的特征多项式。
显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征 方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的 次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特 征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。
取 X (0)
1 1
,
X (1)
A
X (0)
0 1
X (2)
A
X (1)
0 1
1 1
1 2
2 3
11 1 1 1 2
X (3)
A
X (2)
0 1
1 1
2 3
3 5
X (11)
144 233
,
X (12)
233 377
在很多问题中，矩阵的按模最大特征值往往起重要 的作用。例如矩阵的谱半径即按模最大特征值，决 定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的按模最大的特 征值比其余特征值更重要。
X（k）的变化趋势与特征值分 的布有关，幂法根据X（k） 的变化趋势计算矩阵按 模最大的特征值。
以下考虑两种简单情况。
按模最大的特征值只有 一个
设 1 2 3 n ，由上式得到
X（ k ）＝
1
k 1
x
1＋
2
k 2
x
2＋
＋
n
k n
x
n
＝
k 1
1 x 1＋
2
k 2
k 1
x
幂法是计算按模最大特征值及相应的特征向量的数 值方法。简单地说，任取初始向量X(0),迭代计算
X(k+1)=A X(k)
得到迭代序列X(k+1)，k＝0,1,…；再分析X(k+1)与 X(k)之间的关系，就可得到A的按模最大特征值及 特征向量的近似解
幂法分析
在 幂 法 中 ，A假 有设 特矩 征 i,阵 i值 1,2,,n; 其 中 1 2 3 n,并 有 n个 线 性 无 关 特 征 向 xi，量 即 A＝ xi ixi，i1,2,,n.
问题的解决：目前，求矩阵特征值问题实际采用 的是迭代法和变换法。
6.2 幂法（Power Method）
[[解 例 7 ].方2]法计 1：算矩 A＝ 阵 1 0 1 1的特征值
I－A
－1
－－11＝2－－1 0
1 （1 5）/2 1.61803 2 （1 5）/2 0.618034
方法 2：
由以上分析知： 求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和 方程组的解。
例6.1 求矩阵 A 1 2的特征值与特征向量。 3 6
解 A的特征多项式为
1 λ 2 (1 λ )6 ( λ ) 6 λ (λ 7 ),
3 6 λ
故A的特征值为 λ10,λ27.当λ1 0时,由
(A λ1E )x0即方程组
设n阶方阵 A(aij)的特征值为λ1,λ2,λn则有 （1）λ 1 λ 2 λ n a 1 a 1 2 2 a n ;n （2）λ1 λ2λnA .
如果λ λi 是方阵A的一个特征值，由线性方 程组(A λiE )x0 ,求得非零解 xpi, 则 p i 就是A 的对应于特征值 λ i 的特征向量。
2＋
＋
n
k n
k 1
x
n
若 1 0，由于
i 1， i＝ 2，3， ， n 1
对充分大的
k
k有
i 1
0， i＝2，3， ， n 故
X（ k ）
k 1
1
x
1
X（ k ＋1）
k ＋1 1
1
x
1＝
1 X（ k ）
于是得到按模最大的特征值