概率论与数理统计
参数估计
二、计算题 1. 设总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
m 1 解 (1) EX m p(1 p) m1 p m(1 p)
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2. 设总体服从指数分布 X ~ e( ) ， 取一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
解 （2）似然函数为：
L( ) e
i 1 n xi
n
e
n

xi
参数估计
二、计算题 1. 设总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
解
(2) 似然函数为：
L( p )
p(1 p) p (1 p)
a 2 ab b 2 1 n 2 xi 3 n i 1 2 3 n 2 ˆ x a xi 3 x n i 1
n 2 3 2 ˆ b x xi 3 x n i 1
7
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2
总体方差D( X )
的无偏估计量。
4. 设 总 体 X ~ P( ) ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1 , 为
ˆ X ，极大似然估计为 ˆX
, X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
。
1
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ˆ) E (
) f ( x ,。
i i 1
n
称 是 的无偏估计量。设 1 , 2 是未知参数 的两个
ˆ ) D( ˆ ) D( 1 2
则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是 是
总体均值E ( X )
的无偏估计量。样本方差 S
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1 , 0 x 1, f ( x, ) 其它. 0,
其中 0 ，如果取得样本观测值为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计 值.
解 (1) 矩估计法
Q E ( X ) x x
0
1
1
dx
1
参数θ的矩估计值为
ˆ x 1 x
8
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令
d ln L( p) dp
x
i 1
n
i
p

n xi
i 1
n
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：p ˆx
6
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4. 设 X ~ U (a, b) ，一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 a, b 的矩估计量.
3
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2. 设总体服从指数分布 X ~ e( ) ， 取一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
解 （1）矩估计
E( X ) 1

1 ˆ x
解得矩估计量为
4
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解
E( X )
2
b
a b
1 1 b2 a 2 a b x dx ba ba 2 2
2
Байду номын сангаас
1 1 b3 a 3 a 2 ab b 2 E( X ) x dx a ba ba 3 3 ab 1 n xi 按矩法得方程组 2 n i 1
解得矩估计量为
解
, xn ，试求 p 的极大似然估计量.
n xi 1 xi
i 1 p (1 p)
似然函数为： L( p) p (1 p)
i 1
n
xi
n
n
xi
i 1
n
n ln L( p) ( xi )ln p n xi ln(1 p) i 1 i 1
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参数估计
n
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
i i 1
p( x , ) 1. 若 X 是离散型随机变量， 分布律是 P{ X x} P( x; ) ， （ 是待估计参数） ， 则似然函数 ，
X 是连续型随机变量，概率密度是 f ( x; ) ，则似然函数是 2. 若未知参数 的估计量是 ，若 无偏估计量，若
i 1
n
ln L( ) n ln xi
i 1
d ln L( ) n n 令 xi 0 d i 1
ˆ 1 极大似然估计值为： x
5
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3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p) ，这里 0 p 1. 现从总体中抽 取了一个样本 x1 ,
n xi 1
n
xi n
i 1
n
i 1
n ln L( p) n ln p ln(1 p) xi n i 1 n xi n d ln L( p) n i 1 令 0 dp p 1 p
1 ˆ 得 p的极大似然估计值为：p x


而
m 1


m 1
m 1
q
m
q 1q
∴
m 1
mq

m 1

1 (1 q)
2

1 p2
1 EX ∴ p 1 1 n xi x 令 p n i 1
1 ˆ 得 p的矩估计值为：p x
2
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